Алгоритмы оценки энергетических характеристик входной информации

1.

Метод прямоугольников
-интегрирование слева
-интегрирование справа
-интегрирование по центру
Метод трапеций
Метод Симпсона
Формула Ньютона-Котеса
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

2.

Интегрирование методом прямоугольников
Нахождение интеграла функции
соответствует вычислению
площади ограниченной
графиком функции, осью Х
и ординатами в крайних
точках отрезка интегрирования
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

3.

01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

4.

01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

5.

Интегрирование слева (левых прямоугольников)
где,
a,b – пределы интегрирования
n – количество шагов
h – шаг (приращение по х)
h
a
01.03.2026
b
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
b

6.

Интегрирование справа (правых прямоугольников)
где,
a,b – пределы
интегрирования
n – количество шагов
h – шаг (приращение по х)
a
01.03.2026
b
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
b

7.

Интегрирование по центру
(средних прямоугольников)
n
I c h * f ( xi 1/ 2 )
i 1
yi 1 / 2
h
a
01.03.2026
b
xi
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
xi 1
xi 1 / 2

8.

Пример 1. С помощью формул левых
и правых прямоугольников вычислить
9
dx
1 x 2
01.03.2026
, полагая n=4
Решение
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

9.

01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

10.

Расчет для центральных прямоугольников
x1/ 2 2; // x3 / 2 4; // x5 / 2 6; // x7 / 2 8;
1
1
y1 / 2 f (2)
2 2 4
1
1
y 3 / 2 f (4)
4 2 6
1
1
y 5 / 2 f ( 6)
6 2 8
1
1
y 7 / 2 f (8)
8 2 10
1 1 1 1
) 1,283
I c h * f ( xi 1 / 1 ) I c 2 * (
4 6 8 10
i 1
n
Сравнение результатов
I L 1,6024
01.03.2026
I C 1,2833
I R 1,299 I P 1,1053
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
Конец раздела

11.

Интегрирование методом трапеции
y
Площадь трапеции равна
полусумме оснований
умноженной на высоту
B
f (b )
А
f (a )
0
a
b
x
f (a) f (b)
a f x dx (b a)
2
b
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

12.

y
0
y0 y1
h
x0 x1
yn-1 yn
b a
xi
n
xn-1xn х
y0 yn
b a n 1
yi
a f x dx n
2
i 1
b
b
h
x dx y0 2 y1 2 y2 ... 2 yn 1 yn
a f01.03.2026
2
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
или

13.

Пример. Пользуясь общей формулой
трапеций, вычислить 1 dx
при n=4
1 x
2
0
Решение
h=(1-0)/4=1/4=0.25
x0=0
x1=0.25
x2=0.5
x3=0.75
x4=1
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

14.

y(x0)= y(0)=1/(1+0)=1
y(x1)= y(0.25)=1/(1+0.0625)=
1
y(x2)= y(0.5)=1/(1+0.25)= 1,25
1
y(x3)= y(0.75)=1/(1+0.5625)= 1,5625
y(x4)= y(1)=1/(1+1)= 0.5
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

15.

1
dx
0 1 x 2
0,25
2
2
2
(1
0,5)
2
1,0625 1,25 1,5625
25 3
2000
200
200
(
)
200 2 10625 125 15625
1 3 16 8 32
3883
(
)
0,764
8 2 85 5 25
6800
Расчетное значение = 0,785
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
Конец раздела

16.

Интегрирование методом Симпсона
y
B
А
У2
У1
У0
0
Х0
Х2
Х1
01.03.2026
x
Интегрирование по
методу Симпсона
заключается в разбиении
отрезка интегрирования
на несколько частей с
определенным шагом и
заменой кривой в
пределах каждой части
параболой. Параметры
параболы находятся
известными методами
интерполяции. Далее
вычисляются площади
отдельных частей и
суммируются.
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

17.

Формула
Симпсона
b a
h
2n
h ( y0 y2n ) 4( y1 ... y2n 1 )
f
x
dx
2( y ... y )
a
3
2
2 n 2
b
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

18.

Пример. Пользуясь формулой Симпсона,
1
вычислить
при h=0,25
dx
1 x
2
0
Решение
x0=0
x1=0.25
x2=0.5
x3=0.75
x4=1
01.03.2026
1
dx
h
0 1 x 2 3 ( y0 4 y1 2 y2 4 y3 y4 )
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

19.

y(x0)= y(0)=1/(1+0)=1
y(x1)= y(0.25)=1/(1+0.0625)=1/1,0625
y(x2)= y(0.5)=1/(1+0.25)=1/1,25
y(x3)= y(0.75)=1/(1+0.5625)=1/1,5625
y(x4)= y(1)=1/(1+1)= 1/2
1
dx
0,25
1
1
1
0 1 x 2 3 [1 4 * 1,0625 2 * 1,25 4 * 1,5625 0,5] 0,7854
Метод трапеций = 0,7854, расчетное значение = 0,785
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
Конец раздела

20.

Обобщенная формула Ньютона-Котеса
b
n
a
i 0
f
x
dx (b a) yi H i
Коэфф. Ньютона-Котеса
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

21.

01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

22.

Пример2. Вычислить по формуле
/2
cos x
Ньютона-Котеса
, выбрав n=4
dx
0 1 x
Решение
01.03.2026
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

23.

/2
cos x
0 1 x dx
y0
y1
y2
y3
y01.03.2026
4
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"

24.

/2
7
cos x
0 1 x dx
16
2
(1 0) (0.659 0.174) 0.3933
2 90
45
15
0.670
01.03.2026
Расчетное значение = 0,674
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
The end….