Алгоритмы трёх методов: Чебышев, Тейлор–Маклорен и схема Горнера

1.

1. Многочлен Чебышева.
2. Ряды Тейлора-Маклорена
3. Схема Горнера

2.

Чебышев Пафнутий Львович знаменитый русский математик,
родился 14 мая 1821 г. в сельце
Окатове, Калужской губернии;
скончался 26 ноября 1894 г. в СанктПетербурге. Питомец Московского
университета, в котором он кончил
курс в 1841 г. Ч. всю свою
профессорскую деятельность с 1847
г. по 1882 г. посвятил СанктПетербургскому университету

3.

Многочлен Чебышева
Для вычислений с равномерным
распределением погрешности по всему
диапазону применяют многочлен Чебышева.
n-член имеет вид:
Многочлены Чебышева имеют вид:

4.

При вычислении членов Чебышева можно использовать рекуррентную формулу
Многочлен Чебышева в тригонометрической форме имеет вид:

5.

Для аппроксимации функций ряд Чебышева записывается в виде:
где, C 0* , C1* , C 2* ... - приближенные значения коэффициентов ряда Чебышева.
Поскольку известно, что погрешность при использовании ряда Чебышева
меньше, чем при использовании ряда Тейлора, требуемую точность можно
получить при меньшем количестве членов ряда.
Для нахождения коэффициентов применяются методы аналогичные
нахождению коэффициентов при использования ряда Тейлора.

6.

Брук Те́йлор
(англ. Brook
Taylor, 1685—
1731) —
английский
математик
Маклорен (Maclaurin) Колин (1698
Килмодан, Аргайл, ‒ 14.6.1746,
Эдинбург), шотландский математик,
член Лондонского королевского
общества (с 1719). Ученик И.
Ньютона. Математические
исследования относятся к анализу
(теория рядов, исчисление конечных
разностей)

7. Степенные ряды Тейлора применяются для вычисления элементарных функций при компьютерных расчетах,

При а=0 ряд рассматривают ряд Маклорена (частный случай рядов Тейлора)
Например:
5
7
2 n 1
2 n 1
x x
x
x
x
x
sin x
( 1) n
( 1) n
1! 3! 5! 7!
(2 n 1)!
(2 n 1)!
n 0
3
Количество членов ряда зависит от необходимой точности вычисления,
и для предотвращения влияния погрешности округления должно
соблюдаться условие |x| < 1

8.

Основные ряды Маклорена для вычисления функций
x x2 x3
xn
xn
x
e 1
1! 2! 3!
n!
n!
n 0
2n
2n
x2 x4 x6
x
x
cos x 1
( 1) n
( 1) n
2! 4! 6!
(2 n )!
(2 n )!
n 0
5
7
2 n 1
x x
x
x
x
x 2 n 1
sh x
1! 3! 5! 7!
(2 n 1)!
(2 n 1)!
n 0
3
x2 x4 x6
x 2n
x 2n
ch x 1
2! 4! 6!
(2 n )!
(2 n )!
n 0
для
x

9. Основные ряды Маклорена для вычисления функций

n
n
x2 x3 x4
x
x
ln( 1 x ) x
( 1) n 1 ( 1) n 1
2
3
4
n
n
n 1
2
3
4
n
x
x
x
x
xn
ln( 1 x ) x
2
3
4
n
n
n 1
2 n 1
x x x
x
x
arctg x x ( 1) n
( 1) n
3 5 7
2n 1
2n 1
n 0
3
5
7
2 n 1
m( m 1) 2 m( m 1)( m 2) 3
m
(1 x ) 1 x
x
x
1!
2!
3!
m( m 1)( m 2) ( m n 1) n
x
n!
1 x 1
m

10.

Справка
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций,
выражающихся через экспоненту.

11. Схема Горнера

Уильям Джордж ГОРНЕР
английский математик. Окончил
Бристольскую школу (1800). С 1800
преподавал там же, в 1809-1837 гг.
работал в школах Бата. Исследования
относятся к теории алгебраических
уравнений.
Схема Горнера используется для исключения операций возведения
в степень при вычислениях многочлена