Итерационные методы решения СЛАУ

1.

- Условия сходимости
- Приведение матрицы к диагональному виду
- Метод простой итерации
- Метод Гаусса-Зейделя

2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Сходимость итерационного метода решения.
Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы
| i(G)| < 1,
где i(G) – все собственные значения матрицы G.
Сходимость гарантирована также, если исходная матрица А имеет диагональное
преобладание, т.е.
| aii |
n
| aij | ,
i , j 1; i j
A { aij }1n
Это значит, что диагональный элемент матрицы по модулю больше суммы
модулей элементов матрицы этой строки.
Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно
добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не
нарушающих их равносильности.

3.

Приведение матрицы к диагональному преобладанию
2 x1 1,8 x2 0,4 x3 1; ( I )
3x1 2 x2 1,1x3 0; ( II )
x
x2 7,3x3 0; ( III )
1
2<1,8+0,4
2<3+1,1
7>1+1
Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III)
есть, поэтому его оставляем неизменным.
Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I).
Умножим (I) на , (II) на , сложим оба уравнения и в полученном
уравнении выберем и так, чтобы имело место диагональное
преобладание:

4.

2 x1 1,8 x2 0,4 x3 1; ( I )
3x1 2 x2 1,1x3 0; ( II )
x
1 x2 7,3x3 0; ( III )
Умножим (I) на , (II) на , сложим оба
уравнения и в полученном уравнении
выберем и так, чтобы имело место
диагональное преобладание:
(2 + 3 ) х1 + (–1,8 + 2 ) х2 +(0,4 – 1,1 )х3 =
Взяв = = 5, получим
25х1 + х2 – 3,5х3 = 5.
Для преобразования второго уравнения (II)
с преобладанием, (I) умножим на , (II)
умножим на , и из (II) вычтем (I).
Получим
(3 – 2 ) х1 + (2 + 1,8 ) х2 +
+(–1,1 – 0,4 )х3 = − .
Положим = 2, = 3, получим
0х1 + 9,4х2 – 3,4х3 = −3.
В результате получим систему:
25 x1 x2 3,5 x3 5;
9,4 x2 3,4 x3 3;
x x 7,3x 0 .
2
3
1

5.

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
b x
Вычисления продолжаются до тех пор, пока разница между предыдущим и
последующим значениями х будет равна или меньше заданной погрешности

6.

ПРИМЕР.
Методом простой итерации с точностью =0,001 решить систему линейных
уравнений. Запишем его в виде итераций.
x1 0,32 x1 0,05 x2 0,11x3 0,08 x4 2,15;
x 0,11x 0,16 x 0,28 x 0,06 x 0,83;
2
1
2
3
4
x
0
,
08
x
0
,
15
x
0
,
12
x
1
,
16
;
3
1
2
4
x4 0,21x1 0,13 x2 0,27 x3
0,44.
В качестве начального приближения возьмем вектор свободных членов,
0)
т.е.
= (2,15;x (–0,83;
1,16; 0,44). Подставим значения вектора в
формулы

7.

x1 0,32 x1 0,05 x2 0,11x3 0,08 x4 2,15;
x 0,11x 0,16 x 0,28 x 0,06 x 0,83;
2
1
2
3
4
0,12 x4 1,16;
x3 0,08 x1 0,15 x2
x4 0,21x1 0,13 x2 0,27 x3
0,44.
2,15;
–0,83;
1,16;
0,44
x1(1) 0,32 2,15 0,05 0,83 0,11 1,16 0,08 0,44 2,15 2,9719;
x2(1) 0,11 2,15 0,16 0,83 0,28 1,16 0,06 0,44 0,83 1,0775;
x3(1) 0,08 2,15 0,15 0,83
x4(1) 0,21 2,15 0,13 0,83 0,27 1,16
0,12 0,44 1,16 1,5093;
0,44 0,4326 .
Продолжая вычисления, результаты занесем в таблицу:

8.

k
х1
х2
х3
х4
ξ
0
2,15
–0,83
1,16
0,44
∆x1
1
2,9719
–1,0775
1,5093
–0,4326
0,8219
2
3,3555
–1,0721
1,5075
–0,7317
0,3836
3
3,5017
–1,0106
1,5015
–0,8111
0,1462
4
3,5511
–0,9277
1,4944
–0,8321
0,0494
5
3,5637
–0,9563
1,4834
–0,8298
0,0126
6
3,5678
–0,9566
1,4890
–0,8332
0,0041
7
3,5760
–0,9575
1,4889
–0,8356
0,0082
8
3,5709
–0,9573
1,4890
–0,8362
-0,0051
9
3,5712
–0,9571
1,4889
–0,8364
0,0003
10
3,5713
–0,9570
1,4890
–0,8364
0,0001
Конец раздела

9.

МЕТОД ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ
(итерационный)
≠0
Выразим из уравнений х

10.

Далее выполняются следующие шаги итерации до тех пор, пока разница между
предыдущим и последующим значениями х не будет равен или меньше заданной
погрешности

11.

12.

Вторая итерация
x1(1) 1
5
x
6
8
(1)
x3
9
(1)
2
Конец раздела