Погрешности при обработке массивов данных

1.

1. Введение
2. Представление чисел в ЭВМ
3. Понятие погрешности
4. Погрешности функций
5. Устойчивость, корректность, съодимость
6. Приложение – системы исчисления

2. Вычисления с округлениями

число
округление
1,25
1,3
отбрасывание
1,2
2,34
2,3
2,3
3,21
3,2
3,2
4,65
4,7
4,6
5,23
5,2
5,2
6,22
6,2
6,2
4,81
4,8
4,8
8,95
9
8,9
7,55
7,6
7,5
4,91
4,9
4,9
Сумма
49,12
49,2
48,8
Окр. сумма
49,1
49,2
48,8
Вывод: способ вычисления влияет на точность результата вычисления,

3.

Приближенные числа в компьютерных вычислениях
Представление чисел в ЭВМ используется 4 байта памяти (32 разряда)
00000000 00000000 00000000 00000000
Пример распределения 16 разрядов:=> -2 • 10^15 до 2 • 10^15
2^9=1024
1,0000
1,0001
………
1,1024
2,0000
Для расширения числового диапазона используется
запись с плавающей запятой
D = ±m • 10", где т и п — соответственно мантисса числа и его порядок.
Например, число -23.9 можно записать в виде:
-2,39 • 10^1, —0.239 • 10^2, - 239*10^-1

4.

0 -- положительное
23,9
=
1 – отрицательное
- 239*10^-1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1

5.

Погрешность
Погрешность есть мера точности приближенных чисел.
Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его
истинным значением и приближенным значением, полученным в
результате вычисления или измерения.
Относительная погрешность — это отношение абсолютной
погрешности к приближенному значению числа.
Для приближенного числа, полученного в результате округления,
абсолютная погрешность принимается равной половине единицы
разряда, следующего за значащим
0,734 =>0,73431, =>0,73357 – погрешность округления = 0,0005
Если при вычислениях на компьютере округление не производится,
а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются,
то максимально возможная погрешность результата выполнения операции
в два раза больше по сравнению со случаем округления.

6.

Действия над приближенными числами
Абсолютная погрешность арифметических действий
(a b) a b
(a b) a b
(a * b) a * b b * a
a *b b *a
a
( )
2
b
b

7.

Относительная погрешность арифметических действий
(a * b) a b
(a | b) a b
(a ) k * a
k
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых заключена
между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей
этих слагаемых. М – максимальное значение (σа и σв), принимают для расчетов

8.

9.

Рассмотрим пример:
Пусть а = 2520, в = 2518. Найти относительную погрешность разности
двух чисел.
c a b
c
c
c
(a b) a b
a b
0,5 0,5
1
c
0,5
a b
2520 2518 2
Вывод: относительная погрешность результата равна 50%,
т.е. ожидаемый результат равен 2 +- 1,
или 1<c<3

10.

Погрешности функций
y=f(x )
Погрешность аргумента ∆а рассматриваем как изменение
аргумента, при этом изменение функции можно определить
используя дифференцирование
y dy
y = f" (x ) a
Для сложной функции находим аналогично
u = f(x , y , z )
u = f"(x , y , z ) a + f"(x , y , z ) b + f"(x , y , z ) c
Где, ∆а, ∆в, ∆с – соответственно погрешности аргументов

11.

Источники погрешностей
1. Математическая модель, принятая для описания данного процесса или
явления, может внести существенные погрешности, если в ней не
учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи.
2. Исходные данные задачи часто являются основным источником
погрешностей. Вместе с погрешностями, вносимыми математической
моделью, их называют неустранимыми погрешностями, поскольку они
не могут быть уменьшены вычислителем ни до начала решения задачи,
ни в процессе ее решения.
3. Численный метод также является источником погрешностей. Это связано,
например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислениях
значений функций, с интерполированием табличных данных и т. п. Как правило,
погрешность численного метода регулируема, т. е. теоретически она может
быть уменьшена до любого значения путем изменения некоторого параметра
(например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т. п.).
4. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности
округлений,(отбрасываний) связанные с ограниченностью разрядной сетки ЭВМ

12.

Устойчивость. Корректность. Сходимость
Чувствительность метода к неточностям в исходных данных.
характеризуется так называемой устойчивостью, или малые погрешности
в исходных данных приводят к малым погрешностям в решении.
Задача называется поставленной корректно, если для любых
значений исходных данных из некоторого класса ее решение
существует, единственно и устойчиво по исходным данным.
При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших
критериев является сходимость численного метода. Она означает
близость получаемого численного решения задачи к истинному решению.
(итерационные методы, методы дискретизации, интегрирование..)
Конец лекции

13. Двоичное исчисление

2^0=1
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
2^8=256
2^8=512
2^9=1024
Дв
Дс
Шест Вс
3210_______________
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
1000 = 8
1001 = 9
1010 = 10
1011 = 11
1100 = 12
1101 = 13
1110 = 14
1111 = 15
n
Dec K i * 2 i
i 0
i- номер позиции
(слева)двоичного кода
K – значение позиции, 1или 0
1010 = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0
=8+0+2+0=10
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
Шестнадцатеричная
система
C5 = 12*16+5 = 197:
8F = 8*16+15 = 143
Восьмеричная система
26=2*8+6=22
121 = 1*64 +2*8+1=81