Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными

1. «Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными»

8 класс

2. Что такое уравнение с двумя переменными?

Уравнение вида ax+by=c, где:
x и y — переменные;
a, b, c — числа (коэффициенты).
Примеры:
2x+3y=6;
x−y=1;
5x+0y=10 (вырожденный случай).
Ключевая мысль: Решение — пара чисел (x;y), обращающая
уравнение в верное равенство.

3. График уравнения с двумя переменными

Любое линейное уравнение ax+by=c задаёт на координатной
плоскости прямую.
Чтобы построить график, достаточно найти две точки,
удовлетворяющие уравнению.
Алгоритм построения:
1.Выбрать произвольное значение x₁​, найти y₁​.
2.Выбрать другое значение x₂​, найти y₂​.
3.Отметить точки (x₁​;y₁​) и (x₂​;y₂) на плоскости.
4.Провести через них прямую.

4. Пример построения графика

Строим график
уравнения 2x+y=4
Решение:
1.Пусть x=0: 2⋅0+y=4⇒y=4.
Точка A(0;4).
2.Пусть x=2: 2⋅2+y=4⇒y=0.
Точка B(2;0).
3.Отмечаем точки и проводим
прямую.

5. Система уравнений с двумя переменными

Система — это два (или более) уравнения, которые должны
выполняться одновременно.
Общий вид:
a₁x+b₁y=c₁,
ቊ
a₂x+b₂y=c₂.
Решение системы — пара (x;y), которая удовлетворяет обоим
уравнениям.
Пример:
x+y=3,
ቊ
2x−y=0.

6. Графическая интерпретация системы

Каждое уравнение системы задаёт свою
прямую.
Решение системы — это точка
пересечения этих прямых.
Возможны три случая:
Прямые пересекаются → одно решение.
Прямые параллельны → нет решений.
Прямые совпадают → бесконечно много
решений.

7. Случай 1: Одно решение

Прямые пересекаются — одно
решение
x+y=3,
Пример системы: ቊ
x−y=1.
Графическое решение:
1. Строим график x+y=3
(точки А(0;3) и В(3;0)).
2. Строим график x−y=1
(точки D(0;−1) и E(1;0)).
3. Находим точку пересечения: С(2;1).
Проверка: подставляем x=2, y=1 в
оба уравнения — верно!

8. Случай 2: Нет решений

Прямые параллельны — нет
решений
2x+y=4,
Пример системы: ቊ
4x+2y=10.
Анализ:
Уравнения задают параллельные
прямые (коэффициенты
2 1
4
пропорциональны: ​ = ≠ ​).
4
2
10
Прямые не пересекаются →
система не имеет решений.

9. Случай 3: Бесконечно много решений

Прямые совпадают —
бесконечно много решений
x+y=2,
Пример системы: ቊ
2x+2y=4.
Анализ:
Второе уравнение — это первое,
умноженное на 2.
Графики совпадают → любая
точка на прямой — решение.
Система имеет бесконечно много
решений.

10. Алгоритм графического решения системы

1. Для каждого уравнения системы:
• Найти две точки, удовлетворяющие уравнению.
• Построить соответствующую прямую.
2. Найти точку пересечения прямых (если есть).
3. Проверить решение подстановкой в исходные уравнения.
4. Сделать вывод:
• Одна точка → одно решение.
• Нет точек → нет решений.
• Прямые совпадают → бесконечно много решений.

11. Плюсы и минусы графического метода

Плюсы:
Минусы:
• Наглядность: видно, сколько
• Неточность: решение может быть
решений у системы.
приближённым.
• Простота построения для
• Трудоёмкость при больших
линейных уравнений.
коэффициентах.
• Помогает понять геометрический • Не подходит для систем с более
смысл решения.
чем двумя переменными.

12. Практическое задание

Решите графически систему
x+2y=4,
Задание:ቊ
3x−y=5.
Инструкция:
1.Постройте график первого
уравнения (найдите две точки).
2.Постройте график второго
уравнения.
3.Найдите точку пересечения.
4.Проверьте решение
подстановкой.

13. Практическое задание (ответ)

x+2y=4,
Задание:ቊ
3x−y=5.
Графическое решение:
1. Строим график x+2y=4
(точки А(0;2) и В(4;0)).
2. Строим график 3x−y=5
(точки D(0;−5) и E(3;4)).
3. Находим точку пересечения: С(2;1).
Проверка: подставляем x=2, y=1 в
оба уравнения — верно!

14. Итоги урока

Что мы узнали:
• Как решать уравнения с двумя переменными.
• Что такое система линейных уравнений.
• Основные способы решения систем уравнений.
• Как применять графический метод.
Домашнее задание:
• Задание из учебника (указать номера)
• Задача: два магазина предлагают скидки. Какой магазин
выгоднее?