Геометрический смысл производной и примеры применения в химии

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

2.

Геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции f x в точке x0
равно угловому коэффициенту касательной к графику
функции в точке x0 ; f x0 .

3.

4.

Уравнение касательной к графику функции в точке
x0 ; f x0 :
y f x 0 f x 0 x x 0

5.

Например:
Составим уравнение касательной к графику функции у = х2 в точке
х0= –2.
f(х0) = f(–2) = (–2)2 =4,
f ´(x) = 2х,
f '(х0) = f ´(–2) = 2·(–2) = –4.
Подставив в уравнение найденные значения х0= –2, f(х0) = 4, f '(х0) = –4,
получим: у = 4+(–4)(х+2), т.е. у = –4х–4.

6.

Например:
Найти уравнение касательной к графику функции f x cos x
в точке с абсциссой x 0 6 .
1) Найдем значение функции в точке x 0 : f x0 cos 6 2
.
2) Найдем значение производной функции в точке x 0 :
f x0 sin
1
.
6
2
3) Используя формулу, найдем уравнение касательной:
3
3 1
1
y
x y x
.
2
2
6
2
2 12
3

7.

Физический смысл производной заключается в том, что
мгновенная скорость движения v t в момент времени t есть
производная пути по времени, т.е.
v t S t

8.

Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону
S 3t t 2 м , где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3с после
начала движения.
Найдем производную от закона движения:
v(t ) S (t ) 3 1 2 t 3 2t .
Подставим вместо t значение 3с:
v(3) 3 2 3 9 м/с.
Ответ: скорость тела через 3с после начала движения будет равна 9 м/с.

9. Решение:

Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой
изменяется по закону S 1 4t t 2 м , где t - время движения в секундах. Через сколько
секунд после начала движения тело остановится?
Решение:
Найдем производную от закона движения:
v(t ) S (t ) 0 4 1 2t 4 2t .
Т.к. мгновенная скорость в момент остановки равна 0 м/с, то подставив вместо v(t) это
значение, получим уравнение:
4 2t 0 .
Решим данное уравнение относительно t:
2t 0 4 ,
2t 4 ,
t 2c .
Ответ: через 2с после начала движения тело остановится.

10.

Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой
изменяется по закону S 4 3t 0,5t 2 м , где t - время движения в секундах. Через какое
время после начала движения скорость тела окажется равной 2 м/с?
Найдем производную от закона движения:
v(t ) S (t ) 0 3 1 0,5 2t 3 t .
Т.к. мгновенная скорость равна 2 м/с, то подставив вместо v(t) это значение, получим
уравнение:
3 t 2.
Решим данное уравнение относительно t:
t 2 3,
t 1,
t 1c .
Ответ: через 1с после начала движения скорость тела окажется равной 2 м/с.

11.

12. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ХИМИИ

13.

Производную в химии используют для
определения скорости химической реакции,
одного из решающих факторов, который нужно
учитывать во многих областях научнопроизводственной деятельности.
V (t) = p ‘(t)

14.

Понятие на языке
химии
Обозначение
Понятие на языке математики
Количество
в-ва в момент
времени t0
p = p(t 0)
Функция
Интервал времени
∆t = t– t0
Приращение аргумента
Изменение
количества в-ва
∆p= p(t0+ ∆ t ) –
p(t0)
Приращение функции
Средняя скорость
химической
реакции
∆p/∆t
Отношение приращения функции к
приращению аргумента

15.

16.

17.

18.

СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!