Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным (Лекция 1)

1. Исследование операций и методы оптимизации

Лекция 1
Численные методы решения нелинейных уравнений с одним
неизвестным.

2. Виды численных методов:

Численные методы - раздел
вычислительной математики,
изучающий
приближенные
способы
решения
типовых
математических задач, которые либо не решаются, либо трудно
решаются точными аналитическими методами.
Виды численных методов:
Прямые – решение получают за конечное число арифметических
действий.
Итерационные – точное решение может быть получено
теоретически в виде предела бесконечной сходящейся
последовательности вычислений.
Вероятностные – методы случайного поиска решения.
Примечание: Все виды численных методов позволяют получить
только приближенное решение задачи, то есть численное
решение всегда содержит погрешность.

3.

Методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.
Линейная функция одного переменного — это функция вида
y = kx + b, где k, b- числовые коэффициенты
(График линейной функции является прямой линией).
Все остальные функции одного переменного являются
нелинейными.
Методы решения нелинейных уравнений.
Нелинейные уравнения делят на алгебраические и
трансцендентные.
Алгебраическими – называют такие уравнения, которые можно
привести к виду:
а0хn+ а1хn-1+.....+ аn-1 х+ аn=0,
где а0,а1,….. аn-1, аn – некоторые числа.
При этом число n называют степенью алгебраического уравнения.

4. Трансцендентными – называют такие уравнения, у которых функция f(x) не является алгебраической.

Например :
6log3 (3x 2) log2 x 1 4x 2
sin x 5 x3 4
Решение уравнений предполагает следующие действия:
1) отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором
содержится только один корень уравнения, такой промежуток
называется интервалом изоляции корня.
2) уточнение корня, т.е. вычисление корня из
интервала с заданной точностью, т.е. сужение
изоляции корня.
выбранного
промежутка

5.

Отделение корня
При отделении корня используют теорема Больцано – Коши:
если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и монотонна, а её
значения на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок
содержит по крайней мере один корень уравнения f(x)=0.
Существует
несколько
способов
аналитические и графические.
отделения корней:
Аналитические:
Непосредственно подбирают такие значения a и b, для этого составляют
таблицу значений функции y=f(x) на определенном промежутке
изменения аргумента х, и если окажется, что для соседних значениях
аргументов значения функции имеют различные знаки, то 0 функции
находится между ними.

6. Для алгебраического уравнения n-ой степени с действительными коэффициентами все корни уравнения заключены в промежутке (-k, k)

Для алгебраического уравнения n-ой
действительными коэффициентами
заключены в промежутке (-k, k) где
степени
с
все корни уравнения
p
k 1
a0
При этом р – наибольшее значение из коэффициентов при
неизвестных а1,а2,…, аn , взятых по модулю, а0 –коэффициент
при наибольшей степени.
Далее путем дробления промежутка на части, можно
отделить каждый корень уравнения.

7.

Графические
1) строят график функции
аргумента х, и ищут точки
которые и являются корнем.
y=f(x) на промежутке изменения
пересечения графика с осью ОХ,

8. 2) Преобразовывают функцию f(x) =0 к виду:

(x) (x)
где (x) и (x) - элементарные функции.
Абсцисса точки пересечения графиков этих функций и будет
приближенным корнем уравнения.
пример: x∙ln(x)-1=0 на отрезке [0.2; 4]
заменяем на ln(x)=1/x и строим график функции f(x)=ln(x) и f(x)=1/х.
2,5
2
1,5
1
Ряд1
Ряд2
0,5
0
0
-0,5
-1
1
2
3
4
5
6
7

9. Второй этап решения уравнений – уточнение корня проводиться итерационными методами:

1. Метод половинного деления;
2. Хорд;
3. Касательных;
4. Метод простой итерации.
Метод половинного деления.
Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a,b] корень, при этом
функция f(x) непрерывна
и значение функции на концах
отрезка имеют разные знаки, т.е. f(a)*f(b)<0.
Делим отрезок [a, b] пополам
значение функции f(x).
точкой с a2 b и вычисляем в этой точке
Если f(с)=0, то с- корень уравнения, и на этом решение закончено.
Если же f(с) ≠0, то функция меняет знак на отрезке [a,с] или [с,b].

10. Т.е. проверяем если f(a)*f(с)>0 (т.е. одинаковые знаки на концах отрезка), то корень находиться в отрезке [с,b] и а=с, иначе

Т.е. проверяем если f(a)*f(с)>0 (т.е. одинаковые знаки на
концах отрезка), то корень находиться в отрезке [с,b] и
а=с, иначе корень находиться [a,с] и b=с.
Далее берем для деления полученный отрезок и повторяем действие.
В итоге мы или найдем значение корня или отрезок
[an,bn]
в пределах которого находится корень уравнения с
заданной погрешностью .
При этом условие завершение вычисления b a

11. Рассмотрим графический смысл решения уравнения методом половинного деления

• Построим график функции y=f(x)
• Рассмотрим отрезок [a,b]
Разделим отрезок [a,b] точкой с0 пополам

12. Вычислим f(c0)

В нашем случае f(a)*f(с0)>0, следовательно возьмем на
следующем шаге за исходный отрезок [c0,b] и повторим
действия

13.

Таким образом, продолжая процесс деления отрезка мы
либо придем к точному корню, либо приблизимся к нему с
необходимой погрешностью.

14.

Достоинства метода:
Простой и надежный метод поиска простого корня любой функции,
устойчивый к погрешности округления.
Недостатки метода:
Скорость сходимости низкая.
Метод не обобщается на систему уравнений.
Метод нельзя использовать для уточнения не простого корня − корень
совпадает с точкой экстремума функции, т.к. в этом случае функция
не изменяет свой знак в окрестности корня.

15.

Графическое решение:
1.Вычисляем отрезок нахождения корней k=(3/1)+1=4, корни
уравнения находятся на отрезке [-4;4];
2.Построим график функции f(x), на отрезке [-4;4]
3. Найдем точки пересечения графика функции с осью ОХ :
-2,5; -1,5; 1.

16.

4. Выполним проверку.
5. Если при проверки получили 0, то мы нашли точный корень, если нет, то
на панели инструментов Данные выбираем
Анализ, что если - Подбор параметра
Значение 0,
Изменить значение ячейки – указать адрес ячейки со значением корня.

17.

Решение методом половинного деления (с точностью =0.1)
Отделим отрезки для уточнения корней:
[-3;-2]; [ -2;-1]; [0.5;1.5]
Рассмотрим первый отрезок [-3;-2]
Значения функции на концах [-3,-2] имеют разные знаки,
т.е. f(-3)∙f(-2)<0.
f(-3)= -3
f(-2)=1
1. Вычислить координату середины отрезка [a,b] x = (a+b)/2 и
(x в этой точке.
значение
х=(-3-2)/2=-2,5
f(-2,5)=0,125
2. Если (a · (x >0 => x* [x,b] => a=x, иначе x* [a, x]=> b=x
f(-3)*f(-2,5)= -3*0,125= -0,375 < 0=>x* [-3, -2,5]=> b=-2,5
3. Проверяем условие завершения вычислений:
значение функции приближается к 0 с заданной точностью:
| (x | ≤ ε.
| (-2,5 |=0,125 ≥ ε=0,1.
Условие не достигнуто, расчет не завершен, следует повторить алгоритм
сначала.

18. Алгоритм решения в Excel

19.

Ответ в последней ячейки столбика Е

20.

Метод касательных (Метод Ньютона).
Дано нелинейное уравнение f(x)=0.
Корень уравнения отделен и находится на [a,b].
Требуется уточнить корень уравнения с заданной точностью .
Необходимо выполнение следующих условий:
1)Функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b].
2) Значения f(a) и f(b) на концах отрезка имеют разные знаки, т. е.
f(а)*f(b)<0.
3) Обе производные f/(x) и f//(x) сохраняют каждая определенный знак во
всем промежутке, то есть f(x) монотонна и не меняет характера
выпуклости.

21.

Возможны 2 случая:
1) f(а)*f//(х)<0
а) f/ (x) >0 возрастает
f//(x) >0 вогнута вниз
y
f(x)
M0
f(b)
a
f(a)
b
x

22.

y
f(x)
M0
f(b)
M1
f(M1)
x*
f(a)
a
b
x
Проведем касательную к графику функции в точке М0.
Обозначим х* точку пересечения касательной с осью ОХ.
Опустим перпендикуляр из точки х* к кривой f(x) получим точку М1.

23.

y
f(x)
M0
f(b)
M1
f(M1)
х1 x*
f(a)
a
b
x
Проведем касательную к графику функции через точку М1,
получим точку х1.
Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим точный
корень или не приблизимся к нему с заданной точностью.
Условие окончания итераций можно записываются в виде
(существуют и иные критерии) |