Лекция 3 СЛАУ ПИЭ (2)

1. Системы линейных алгебраических уравнений:

Совместность (теорема Кронекера –
Каппели), число решений, решение
методом Гаусса, Крамера, однородные
системы
1

2. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

О п р е д е л е н и е 1. Системой линейных алгебраических
уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными
х1,…,хn, называется система вида:
a11 x1 a1n x n b1
a x a x b
21 1
2n n
2
(1)
a m1 x1 a mn x n bm ,
где a11,…,amn – коэффициенты системы,
b1,…,bm – свободные члены.
2

3. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

(2)
a11
a 21
A
a
m1
a1n
a2n
a mn
3

4. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

О п р е д е л е н и е 2. Расширенной матрицей системы
(1) называется матрица, обозначаемая (A|B) и
полученная приписыванием к матрице А справа после
вертикальной черты столбца B.
a11
a
21
(A | b )
am1
a1n b1
a2 n b2
...
amn bn
О п р е д е л е н и е 3. Решением системы (2) называется
любой n- мерный вектор X подстановка которого в (2)
4
дает тождество.

5. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

О п р е д е л е н и е 4. Система называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение. В противном
случае система называется несовместной.
Т е о р е м а 1. (Кронекера – Капелли). Система (1)
совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы, то есть:
r A r A b .
При этом если r A n , то система имеет единственное
решение; если r A n , то система имеет бесконечное
множество решений (n –число неизвестных).
5

6. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

Т е о р е м а 2. Решение системы АХ=В (2) имеет вид:
x x 0 c 1 l1 c k l k ,
(3)
где x 0 частное решение линейной неоднородной
системы (2); число k, называемое числом свободных
неизвестных системы (2), вычисляется по формуле k n r A
с 1 , , c k произвольные постоянные числа; l1 , , l k
постоянные n- мерные векторы, являющиеся линейно
независимыми решениями соответствующей линейной
однородной системы АХ=0 .
6

7. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса
Для решения системы (2) с матрицей А размерности mxn и
столбцом свободных членов b нужно выполнить
следующие действия:
1) Составить расширенную матрицу А b
и привести ее
к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований строк;
2) Если r A r A b , записать ответ: система несовместна.
Если r A r A b , сделать выводы:
7

8. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

- система совместна,
базисными неизвестными объявить те, номера
которых совпадут с номерами базисных столбцов
ступенчатого вида матрицы А, содержащих
опорные элементы этой матрицы; остальные
неизвестные объявить свободными,
- число свободных неизвестных равно k n r A ,
- перейти к выполнению следующего шага;
-
8

9. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

3) Привести ступенчатую матрицу, полученную при
выполнении шага 1), к виду Гаусса;
4) Написать систему линейных уравнений,
соответствующую матрице, построенной на шаге 3),
обозначив свободные неизвестные с 1 , , с k
;
5) Выразить из полученной системы базисные
неизвестные через свободные неизвестные;
6) Записать ответ, воспользовавшись или векторной
формой записи (5), или координатной формой:
x j f j c 1 , c k ,
j 1, n .
9

10. Системы любого числа линейных алгебраических уравнений

З а м е ч а н и е 2. Применение метода Гаусса
не требует, чтобы матрица системы А была
квадратной и предварительного вычисления ее
определителя.
10

11. ПРИМЕРЫ

П р и м е р 1. Для системы:
2 x 3 y z 5
x y 5z 3
4 x 7 z 7
указать матрицу системы А и столбец свободных членов b
Записать систему в векторной форме.
Р е ш е н и е. Обозначим столбец неизвестных :
11

12. ПРИМЕРЫ

x
x y
z
Тогда матрица А рассматриваемой системы составляется
из числовых коэффициентов, стоящих в системе при
неизвестных:
2 3 1
A 1 1 5
4 0 7
12

13. ПРИМЕРЫ

Столбец b составляется из свободных членов системы:
5
b 3
7
Поэтому систему можно переписать в векторной форме:
A x b
О т в е т:
2 3 1
5
A 1 1 5 b 3
4 0 7
7
A x b
13

14. ПРИМЕРЫ

П р и м е р 2. Исследовать на совместность систему:
x 2z 1
3 x y 1
4 x y 2 z 1.
Р е ш е н и е.
x
x y
z
1 0 2
1
А 3 1 0 , b 1
4 1 2
1
14

15. ПРИМЕРЫ

Выполним шаг 1) метода Гаусса:
1
1 0 2 1 3 4 1 0 2
A b 3 1 0 1
0 1 6 2 1
4 1 2 1
0 1 6 3
1
1 0 2
0 1 6 2 .
0 0 0 1
Следовательно:
r A 2, r A b 3 и r A r A b .
О т в е т: система несовместна.
15

16. ПРИМЕРЫ

П р и м е р 3. Решить систему:
x 2z 1
3 x y 1
4 x y 3 z 1.
Р е ш е н и е. В данном случае имеем:
1
1 0 2
x
b 1
x y A 3 1 0
1
4 1 3
z
столбец свободных
членов.
16

17. ПРИМЕРЫ

2
1
1 0 2 1 3 4 1 0
A b 3 1 0 1
0 1 6 2 1
4 1 3 1
0 1 5 3
r A r A b 3,
2
1
1 0
n
3
,
0 1 6 2
система совместна,
0 0
1 1 6 2 р ешение единственн ое
17

18. ПРИМЕРЫ

x 3,
1 0 0 3
1 0 0 3
0 1 0 8 1 0 1 0 8 y 8,
0 0 1 1
0 0 1 1
z 1.
О т в е т:
x 3;
y 8;
z 1.
18

19. ПРИМЕРЫ

П р и м е р 4. Исследовать на совместность и решить
систему:
x1 3 x 2 5 x 3 7 x 4 1
x 2 x 3x 2 x 4 x 0
1
2
3
4
5
x
7
x
11
x
3
x
8
x
1
1
2
3
4
5
2 x1 4 x 2 6 x 3 4 x 4 x5 0.
19

20. ПРИМЕРЫ

1
1
1
2
Р е ш е н и е. Воспользуемся методом Гаусса: составим
матрицу А рассматриваемой системы, столбец
свободных членов b и преобразуем расширенную
матрицу ( А b ) к виду Гаусса:
0 1 1 2 1 3 5 7
2 3 2 4 0
0 5 8 5
7 11 3 8 1
0 10 16 10
0 10 16 10
4 6 4 1 0
3 5
7
0 1
4 1 2
8 2
1 2
20

21. ПРИМЕРЫ

1
0
0
0
1
1
5 8 5 4 1
0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 7 0 1 7 0
3 5 7
0
1
0
0
0
3 5 7
0
5 8 5 4
0 0 0 1
0 0 0 0
3 5 7 0 1
5 8 5 4 1
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
r A r A b 3 , п 5
система имеет бесконечное
1
множество решений;
1
n r 2 число свободных
0 4
неизвестны
х;
0
х1 , х 2 , х5 базисные неизвестны е;
х , х свободные неизвестны е 21
3 4

22. ПРИМЕРЫ

1 3 5 7 0 1
1 3 5 7 0 1
1
0 5 8 5 0 1 0 1 8 5 1 0 1 5 3
0 0 0 0 1 0 5
0 0 0 0 1 0
1 0 1 5 4 0 2 5
0 1 85 1 0 15 .
0 0 0 0 1 0
22

23. ПРИМЕРЫ

О т в е т:
2 1
х1 5 5 с1 4с2
2 5
1 5
4
х 1 8 с с
1 5
8 5
1
2
1
2
5 5
или х 0 с1 1 с 2 0 .
х3 с1
0
0
1
х
с
4
2
0
0
0
х 0
5
с1 , с2 произв. пост.
23

24. Теорема (правило Крамера)

Система из n уравнений с n неизвестными, когда
определитель матрицы системы отличен от
нуля, имеет решение, и притом только одно. Это
решение находится по формулам
где через Δ обозначен определитель матрицы
системы, а через Δi – определитель матрицы,
полученной из матрицы системы заменой i-го
столбца столбцом свободных членов.
24

25.

25

26. Однородные системы

Линейная однородная система алгебраических
уравнений всегда совместна, так как всегда
имеет нулевое решение, называемое
тривиальным.
26

27. Однородные системы

Теорема. Линейная однородная система
алгебраических уравнений имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда,
когда ее ранг меньше числа неизвестных.
Теорема. Линейная однородная система
алгебраических уравнений, у которой число
уравнений равно числу неизвестных, имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда,
когда определитель ее матрицы равен нулю.
27

28. Однородные системы

Теорема. Множество решений линейной
однородной системы алгебраических уравнений
с n неизвестными и матрицей ранга r имеет
размерность k=n–r
В общем решении свободные переменные могут
принимать произвольные значения, их
количество равно k=n–r, а главные переменные
определяются через свободные однозначно.
28

29. Однородные системы

Любой упорядоченный набор из k=n–r линейно
независимых решений однородной системы
образует фундаментальную систему решений.
Теорема. Общее решение совместной
неоднородной системы равно сумме ее частного
решения и общего решения соответствующей
однородной системы.
29