ЛЕКЦИЯ_Вероятности_сложных_событийТеоремы_сложения,_умножения

1. П. 3 Вычисление вероятностей сложных событий

2. Теорема сложения вероятностей

Пример: В ящике 12 белых, 7 черных и 11 синих
одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимается
один шар. Какова вероятность того, что вынутый
шар не белый?
Решение.
1 способ: Р(С)=18/30=0,6
2 способ: Р(С)=Р(А)+Р(В)=7/30+11/30=18/30=0,6

3.

Теорема. Вероятность появления одного из двух
несовместных событий, неважно какого, равна
сумме вероятностей этих событий, т.е
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема. Вероятность появления одного из
нескольких попарно несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий, т.е
n
P( Ai )
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+Р(Аn)=
i 1

4.

Пример: От коллектива бригады, которая состоит
из 6 мужчин и 4 женщин, на конференцию
выбирается два человека. Какова вероятность, что
среди выбранных хотя бы одна женщина?
Решение:
А- «среди выбранных двух хотя бы одна женщина»
А1- «выбраны мужчина и женщина»
А2- «выбраны две женщины»
Р(А)=Р(А1)+Р(А2)

5.

6 4 С42
8 2 10
Р(А) Р(А1 ) Р(А 2 ) 2 2
0,67
С10 С10 15 15 15
При решении не рассматривалось событие
В- «выбраны двое мужчин»
С62 1
Р(В) 2 0,33
С10 3
Тогда А1, А2, В образуют полную группу и
Р(А1)+Р(А2)+Р(В)=1

6.

Следствие 1. Сумма вероятностей попарно
несовместных событий, образующих полную
группу, равна 1.
Р(А1)+ Р(А2)+…+Р(Аn)=1
Следствие 2. Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1
Р( А) Р( А) 1
Пример: Бросают три игральных кубика. Какова
вероятность того, что сумма выпавших очков
меньше 17?

7.

Пример: Бросают три игральных кубика. Какова
вероятность того, что сумма выпавших очков меньше
17?
Решение:
Всего 16 различных сумм очков от 3 до 18.
А- «сумма выпавших очков меньше 17»
В – «сумма выпавших очков 18 или 17»
События А и В противоположные
N= 6*6*6=216
Р(А)=Р(А1)+..+Р(А14)=1-Р(В)=1-(1/216+3/216)=212/216=0,98

8.

Пример: Среди одинаковых по внешнему виду 11
изделий находятся три бракованных. Произвольно
вынимают три изделия. Найти вероятность того,
что среди них хотя бы одно бракованное.

9.

Пример: Среди одинаковых по внешнему виду 11
изделий находятся три бракованных. Произвольно
вынимают три изделия. Найти вероятность того, что
среди них хотя бы одно бракованное.
Решение.
А – «среди вынутых трех хотя бы одно бракованное»
С83
56
Р( А) 1 Р( А) 1 3 1
0,66
С11
165

10.

Пример: Изделие проверяют на стандартность по
двум параметрам. Установлено, что у 8 из 25
изделий не выдержан только первый параметр, у 6
изделий – только второй, а у 3 изделий не
выдержаны оба параметра. Берем одно из изделий.
Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет
стандарту?

11.

Пример: Изделие проверяют на стандартность по
двум параметрам. Установлено, что у 8 из 25
изделий не выдержан только первый параметр, у 6
изделий – только второй, а у 3 изделий не
выдержаны оба параметра. Берем одно из изделий.
Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет
стандарту?
Решение.
А – «не удовлетворяет стандарту»
А - «удовлетворяет стандарту»
25 (8 6 3)
8 17
Р( А) 1 Р( А) 1
1
0,68
25
25 25

12.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного
из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их
совместного наступления, т.е
Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)- Р (АВ)

13.

Пример: Изделие проверяют на стандартность по двум
параметрам. Установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан
только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3
изделий не выдержаны оба параметра. Берем одно из изделий.
Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?
Решение.
А – «у изделия не выдержан первый параметр»
В – «у изделия не выдержан второй параметр»
С –изделие не удовлетворяет стандарту»
8 3 6 3 3 17
Р(С )
0,68
25
25 25 25

14. Теорема умножения вероятностей

Условной вероятностью Р (В) называется
А
вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие а уже наступило

15.

Пример: В ящике 7 одинаковых шаров с номерами
от 1 до 7. Берут один за другим два шара, не
возвращая их обратно.
А- «первый вынутый шар имеет номер 3»
В -«второй вынутый шар имеет нечетный номер»
D- «первый вынутый шар имеет номер 2»
С- «второй вынутый шар имеет четный номер»
Тогда
Р(А)=1/7,
Р (В)=3/6
Р (С)=3/6
Р(D)= 1/7,
Р (В)=4/6,
Р (С)=2/6
А
А
D
D

16.

Теорема. Вероятность совместного появления двух
событий равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило:
Р( АВ) Р( А) РА ( В) Р( В) РВ ( А)

17.

Пример: В коробке девять одинаковых ламп, три
из которых были в употреблении. В течении дня
мастер взял две лампы. Какова вероятность того,
что обе взятые лампы были в употреблении?
Решение.
1 способ:
2
Р( АВ)
С3
1
0,083
2
С9 12
2 способ:
А - «Взяли первую лампу б/у»
В - «Взяли вторую лампу б/у»
Р(АВ)= 3/9*2/8=0,083

18.

Два события называются независимыми, если
появление любого из них не изменяет вероятность
появления другого, т.е
Р( А) РВ ( А)
или
Р( В) РА ( В)

19.

Теорема. Вероятность совместного появления двух
независимых событий равна произведению их
вероятностей
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Пример: Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что на первом кубике выпадет
четное число очков, а на втором – число, меньшее 6

20.

Пример: Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что на первом кубике выпадет
четное число очков, а на втором – число, меньшее 6
Решение.
А – « на первом кубике выпадет четное число очков»
В – «на втором – число, меньшее 6»
Р(АВ)=3/6*5/6=15/36=0,42

21. Пример:

Вероятность поломки первого станка в течение
смены равна 0,2, а второго 0,13. Чему равна
вероятность того, что оба станка потребуют
наладки в течение смены?

22. Пример:

Вероятность поломки первого станка в течение
смены равна 0,2, а второго 0,13. Чему равна
вероятность того, что оба станка потребуют
наладки в течение смены?
Решение.
А – «поломка первого станка »
В – «поломка второго станка »
Р(АВ)=Р(А) Р(В)=0,2*0,13=0,026

23. Пример:

Два спортсмена независимо друг от друга стреляют
по одной мишени. Вероятность попадания в
мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго
0,8. Какова вероятность того, что мишень будет
поражена?

24. Пример:

Два спортсмена независимо друг от друга стреляют
по одной мишени. Вероятность попадания в
мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго
0,8. Какова вероятность того, что мишень будет
поражена?
Решение.
А – «в мишень попал первый спортсмен»
В – «в мишень попал второй спортсмен»
А+В – «мишень поражена»
Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,8-0,7*0,8=0,94

25. Пример:

В гараж поступили 24 новые шины,
предназначенные для определенной марки
автомобиля. Изготовлены они на двух различных
заводах, причем 10 шин изготовлены на 1-м заводе,
а остальные на втором. Четырем водителям
необходимо заменить по одной шине. Какова
вероятность того, что первые три водителя
воспользуются шинами 2-го завода, а четвертый
шиной 1- го завода?

26. Решение.

События:
А –{первый водитель воспользуется шиной 2-го завода }
В –{второй водитель воспользуется шиной 2-го завода }
С –{третий водитель воспользуется шиной 2-го завода }
D –{четвертый водитель воспользуется шиной 1-го завода }
1 способ
Р(АВСD)=14/24*13/23*12/22*10/21=0,085
2 способ
1
А143 С10
14 13 12 10
Р( АВСD )
0,085
4
24 23 22 21
А24