Оптимизационные задачи. Лекция 14

1.

Лекция 14
Оптимизационные
задачи

2.

Оптимизация — (от лат. optimum- наилучший) задача нахождения
экстремума целевой функции в некоторой области конечномерного
векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или
нелинейных равенств и/или неравенств.
Граф параболоида описанного функцией z = f(x, y) = −(x² +
y²) + 4. Глобальный максимум от (x, y, z) = (0, 0, 4)
обозначен синей точкой.

3.

Постановка задачи оптимизации
В процессе проектирования ставится задача определения наилучших
структуры или значений параметров объектов. Если оптимизация
связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной
структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией.
Задача выбора оптимальной структуры является структурной
оптимизацией.

4.

Классификация методов оптимизации
Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:
• Локальные методы сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой
функции.
• Глобальные методы имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями.
При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций
глобального поведения целевой функции.
Методы поиска можно разбить на три группы:
1. детерминированные;
2. случайные;
3. комбинированные.

5.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и
методы их решения можно разделить на следующие классы:
• Задачи оптимизации, в которых целевая функция
и ограничения
являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами
линейного программирования.
• В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования.

6.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:
• аналитические методы
• численные методы;
• графические методы.
Математическое программирование используется при решении
оптимизационных задач исследования операций.

7.

Решение задач оптимизации
• Составление математической модели
выбирается независимая переменная, через которую выражается та величина,
для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
• Работа с моделью
находится наибольшее или наименьшее значение полученной функции
• Ответ на вопрос задачи
по результатам, полученным в предыдущем пункте, записывается конкретный
ответ на вопрос задачи

8.

Задача 1:
Периметр прямоугольника равен 40 см. Какую
длину должны иметь стороны прямоугольника,
чтобы площадь была наибольшей?
х
20 - х
Решение:
Составляем математическую модель. Пусть
20 - х. Функция будет иметь следующий вид:
х – ширина прямоугольника, тогда длина –
S(x) = x • (20 - x) = 20x - x2 , где 0<x<20
Находим наибольшее значение этой функции S`(x) = 20 - 2x,
S(10) = 10 • (20 - 10) = 100
Ответ:
20 – 2x = 0,
x = 10.
Длина и ширина прямоугольника равны 10 см.
Вывод:
Наибольшую площадь среди четырехугольников при заданном периметре имеет квадрат

9.

Задача 2:
Открытый металлический бак с квадратным
основанием должен вмещать 32 л воды.
При каких размерах на его изготовление
уйдёт наименьшее количество металла?
Решение:
Пусть х – длина основания, тогда высота – 32 / х2. Площадь поверхности состоит из дна и
четырёх боковых прямоугольников
S= х2 + 4х • 32 / х2 = х2 +128/х
S`=2х – 128/х2 2х3 - 128 = 0 х3 = 64 х = 4
х=4 – единственная точка минимума на отрезке, значит в ней функция принимает
наименьшее значение.
Ответ:
наименьшее количество металла потребуется для бака с размерами 4х4х2 дм.

10.

Математическая теория линейного и нелинейного
программирования и ее приложения широко применяются
к исследованию различных экономических проблем