Решение комбинаторных задач

1. РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Проектирование образовательного процесса в условиях профильного
обучения физики и математики
РЕШЕНИЕ
КОМБИНАТОРНЫХ
ЗАДАЧ
Решение комбинаторных задач
1

2. ПЕРЕСТАНОВКА

abc, acb
bac, bca
cab, cba
Pn = n!
Задача 1
На полке стоят три книги. Сколькими способами можно
расставить эти книги на полке?
Решение комбинаторных задач
2

3. РАЗМЕЩЕНИЕ

n!
A
(n k )!
k
n
Задача 2
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в
городских олимпиадах по математике, физике, истории
и
географии. Каждый из учащихся участвует только в одной
олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
А 12 11 10 9 11880
4
12
Решение комбинаторных задач
3

4. СОЧЕТАНИЕ

Задача 3
Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных роз и 5
белых , выбирают 2 красные розы и 1 белую. Сколькими
способами можно сделать такой выбор букета?
2
С
Решение
10 - выбор двух красных роз из 10
С51 - выбор белой розы
С С 45 5 225
2
10
22.05.2025
1
5
Решение комбинаторных задач
4

5. СОЧЕТАНИЕ

С
0
n
1
C
1
n
n
C nk C nn k
C nk C nk 11 C nk 1
n
C ni 2 n
i 0
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
5

6. ПЕРЕСТАНОВКИ, РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

( ... )!
n!
Р , , ...
! ! !... !
! ! !... !
A n
m
n
C C
m
n
22.05.2025
m
m n 1
m
n(n 1)( n 2)...( n m 1)
(1 2 3 ... m)( n 1)
Решение комбинаторных задач
6

7. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

• Правило суммы: Если объект А выбран - m
способами, а объект В – n способами, то выбор «либо А,
либо В» - m+n способами.
• Правило произведения: Если объект А выбран m
способами, а после каждого из таких выборов объект В
выбран n – способами, то выбор «А и В» в указанном
порядке m*n
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
7

8. ЗАДАЧА 1

Сколько существует трехзначных
чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6
(без повторений), которые не кратны 3?
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
8

9. РЕШЕНИЕ

1,2,3 1,3,5 2,3,4
1,2,6 1,5,6 2,4,6
Составим Р3 чисел , кратных 3
Всего троек 8
Всего трехзначных чисел кратных 3
Числа кратные 3:
3,4,5
4,5,6
8 Р3 8 Р3 48
Количество трехзначных чисел не кратных трем
А63 8 Р3 120 48 72
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
9

10. ЗАДАЧА 2

Из спортсменов А,Б,В,Г,Д и Е выбирается
пара для участия в соревнованиях пар по
теннису. Сколько существует способов
выбора этой пары?
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
10

11. РЕШЕНИЕ

Каждая пара должна отличаться хотя бы
одним из учащихся. Таких групп должно
быть С62
6! 5 6
С
15
2!4!
2
2
6
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
11

12. ЗАДАЧА 3

На плоскости отмечены 10 точек,
причем никакие 3 из них не лежат в одной
плоскости. Через каждые 2 из них
проведена прямая. Сколько проведено
прямых.
СОШ №4
г.Усинск
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
12

13. РЕШЕНИЕ

Сочетание
Количество прямых равно
10! 9 10
С
45
2!8!
2
2
10
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
13

14. ЗАДАЧА 4

Сколько
человек
участвовало
в
шахматном турнире, если известно, что
каждый участник сыграл с каждым из
остальных по одной партии, и всего было
сыграно 136 партий?
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
14

15. РЕШЕНИЕ

n - количество участников
Сn2 136 - количество сыгранных партий
n!
136
2!(n 2)!
1 2 3 ... (n 2)( n 1)n
136
2 1 2 3 ... (n 2)
(n 1)n
136
2
n 2 n 272 136
n1 16
22.05.2025
n2 17
Решение комбинаторных задач
15

16. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ

А 12 A
4
n
Решение
2
n
n!
12n!
(n 4)! (n 2)!
( n 3)( n 2)( n 1) n 12( n 1)n
n 2 5n 6 12
n 2 5n 6 0
n1 1
22.05.2025
n2 6
Решение комбинаторных задач
16

17. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ

С
Решение
3
n 1
С 30
3
n
(n 1)!
n!
30
3!(n 4)! 3!(n 3)!
( n 3)( n 2)( n 1) ( n 2)( n 1) n
30
3!
3!
( n 2)( n 1)( n 3 n)
30
3!
(n 6)( 2n 2 3n 31) 0
n1 6
22.05.2025
D 0
Решение комбинаторных задач
17

18. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ

С
Решение
3
n 1
С 30
3
n
(n 1)!
n!
30
3!(n 4)! 3!(n 3)!
( n 3)( n 2)( n 1) ( n 2)( n 1) n
30
3!
3!
( n 2)( n 1)( n 3 n)
30
3!
(n 6)( 2n 2 3n 31) 0
n1 6
22.05.2025
D 0
Решение комбинаторных задач
18

19. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ

Px 2
720
x 4
Ax 1 P3
Решение
( x 2)!
720
( x 1)!
3!
( x 1 x 4)!
( x 2)!
720
( x 1)!
x 3 3 x 2 2 x 720 0
( x 8)( x 2 11x 90) 0
x1 8
22.05.2025
D 0
Решение комбинаторных задач
19

20. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО

Аn6 Аn5
2
(
n
4
)
Аn4
Решение
n!
n!
( n 6)! ( n 5)!
( n 4) 2
n!
( n 4)!
n!(n 5 1)( n 4)!
(n 4) 2
(n 5)! n!
(n 4) 2 (n 4) 2
22.05.2025
Решение комбинаторных задач
20

21. РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО

Решение
Сn4 5
(n 5)!
(n 2)( n 3)( n 4)( n 5)
4!(n 1)!
4!
( n 3)! ( n 1)( n 2)( n 3)
n!3!
3!
(n 2)( n 3)( n 4)( n 5) 195 (n 1)( n 2)( n 3)
4!
16
3!(n 1)
4n 2 36n 115 0
Cnn 3
k1 2,5
22.05.2025
k2 11,5
n [0;2;5)
n 0;1;2
Решение комбинаторных задач
21

22. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ !!!

22.05.2025
Решение комбинаторных задач
22