Метод Жордана-Гаусса

1.

Метод Жордана-Гаусса базируется на элементарных
преобразованиях системы уравнений и позволяет
получить ответы на выше перечисленные вопросы.
Запишем расширенную матрицу системы уравнений (1) в
виде:
a11 a12 … a1q … a1n b1
a21 a22 … a2q … a2n b2
…………………………
ap1 ap2 … apq … apn bp
…………………………
am1 am2 … amq … amn bm
Элемент apq – разрешающий элемент, отличный от нуля;
q-ый столбец матрицы – разрешающий столбец;
p-ая строка – разрешающая строка.

2.

Пересчитаем элементы матрицы по формулам:
p-е уравнение делится на apq, умножается на aiq и вычитается
из i-го уравнения. Смысл этого пересчета состоит в том, что
переменная xq исключается из всех уравнений, кроме i-го.
a
b
iq p
1
1
aij aij , bi bi
, i p;
a pq
a pq
a pjaiq
a
1
pi
a pi
a pq
,b
1
p
bp
a pq
, i p.

3. продолжение

Получаем:
aiq=0, i не равно p,
=1, i=p.
Полученная матрица:
a111 a121 …0… a1n1 b11
a211 a221 …0… a2n1 b21
продолжение
……………………………………
ap11 ap21 …1…apn1 bp1
……………………….
am11 am21 …0… amn1 bm1
Столбец q назовем единичным с единицей в p-ой строке.
Выберем отличный от нуля элемент в другой строке этой
матрицы и проделаем аналогичные преобразования.
получим ещё один столбец с 1-ей в выбранной строке и
т.д.

4. продолжение

Конечная цель преобразований – получение матрицы
имеющей m единичных столбцов с 1-ми в разных строках–
в этом идея метода Ж-Г.
Преобразования проводятся в таблицах, при этом
используется, так называемое, правило прямоугольника
aij
aiq
продолжение
apj
apq
a aij
1
ij
a pj aiq
a pq
Ситуации:
1. После получения очередного единичного
столбца появилась строка, все элементы которой =0. Это
означает, что исходная система содержит линейно
зависимые уравнения. Нулевая строка уничтожается и
процесс преобразований продолжается пока число
единичных столбцов не будет равно числу оставшихся
уравнений.

5. продолжение

2. Появление строки, все элементы которой aij1=0 , а bi1 не
равно 0 означает, что рассматриваемая система
несовместима.
3. В результате преобразований получено m единичных
столбцов, причем m=n. Означает, что в каждом
уравнении осталось всего одна неизвестная с
коэффициентом =1, т.е. получено решение системы,
являющееся единственным.
4. Получено m единичных столбцов и m<n.
Переменные, соответствующие единичным столбцам –
базисные, их выражают через свободные (все оставшиеся)
путём переноса слагаемых, содержащих свободные
переменные в правую часть системы получается
общее решение системы.