Теорема Виета для уравнений третьей степени

1.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Высокогорская средняя общеобразовательная школа № 4
им. Г. Баруди Высокогорского муниципального района
Республики Татарстан»
Индивидуальный проект
ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
Хуснутдинов Карим Ильшатович, 10А класс
Куратор (руководитель): Зялалова Зульфира Айратовна
Высокая Гора, 2025

2. Введение

О математике, ее истории и красоте можно говорить бесконечно. Любовь к этой науке возрастает, когда
видишь людей, посвятивших себя ей, освещая путь вперед. Творцы математики — это целеустремленные
и ответственные личности, преодолевающие трудности. Их истории играют важную роль в формировании
нравственных позиций молодежи. В 2010 году исполнилось 470 лет со дня рождения Франсуа Виета,
французского математика, который заложил основы алгебры и буквенного исчисления.
Актуальность
Математическое образование в школе играет ключевую роль в общей культуре человека, так как
большинство окружающих нас явлений связано с математикой. Умение решать уравнения, включая
квадратные уравнения и уравнения высших степеней, необходимо для решения практических задач в
различных областях.
Цель
В данном реферате преследовалась цель – изучить материал о великом учёном, французском
математике – Франсуа Виете, научиться решать уравнения третьей, четвёртой степени разными способами
Цели реферата реализовывались следующими задачами:
•выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет, его вклад в математику;
•узнать историю его жизни;
•узнать какие уравнения называются уравнениями высших степеней;
•познакомиться с методом решения этих уравнений;
•научиться решать такие уравнения.

3. Жизнь Франсуа Виета

Франсуа Виет (1540–1603) — французский математик, юрист по образованию. Начал карьеру как адвокат,
затем стал советником при дворе Генриха IV. Прославился решением сложного уравнения 45-й степени,
предложенного голландцем ван Роуменом, найдя 23 корня.
Ранее Виет разгадал испанский шифр во время франко-испанской войны, что помогло Франции
побеждать. Испанцы обвинили его в колдовстве, но казни удалось избежать.
Умер в Париже, возможно, был убит.
Франсуа Виет не считал себя математиком и занимался математикой для удовольствия. Будучи
состоятельным человек, он издавал и рассылает свои труды ученым Европы.
Виет считается основоположником алгебры как науки о преобразовании выражений и решении уравнений.
Он первым использовал буквы для обозначения неизвестных и данных величин, что позволило выражать
свойства уравнений общими формулами. Разработал методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и
установил зависимость между корнями и коэффициентами (формулы Виета).
Его основные открытия изложены в «Введении в аналитическое искусство» (1591), что положило начало
преобразованию алгебры в мощное математическое исчисление. Виет называл алгебру аналитическим
искусством и понимал её глубокий потенциал.

4. Квадратное уравнения Основное понятие

Квадратным уравнением называют уравнения вида:
ax²+bx+c = 0,
где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.
Пример:
x2 + 2x + 6 = 0.
Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Пример:
2x2 + 8x + 3 = 0.
Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными
словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

5. Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа
Виет. Это свойство назвали теорема Виета:
Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения:
ax² + bx + c = 0
необходимо и достаточно выполнения равенства:
x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a
Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине корней квадратного уравнения
А именно :
x² + bx + c = 0
Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.
Если b<0, c>0 то оба корня положительны.
Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной
величине больше положительного.
Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной
величине меньше положительного.

6. Уравнения третьей степени История уравнений третьей степени

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений третьей степени были
выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар»
описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми
применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении
таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.
Различные уравнения как квадратные, так и уравнения третьей степени решались нашими далекими
предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в
уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых
ситуациях.

7. Формула Виета для уравнений третьей степени

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a0xn + a1xn-1 + … +an имеет n различных корней x1 , x2 …, xn.
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x – x1)( x – x2)…(x – xn)
Разделим обе части этого равенства на a0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
xn + (a1/a0 )xn-1 + … + (an/ a0 ) = xn – (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых
степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
x1 + x2 + … + xn = - a1/ a0
x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn = a2/ a0
x1x2 … xn = (-1)n an/ a0
Например, для многочленов третей степени
a0x³ + a1x² + a2x + a3 имеем тождества
x1 + x2 + x3 = - a1/ a0
x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2/ a0
x1*x2*x3 = - a3/ a0

8. Решение задач

Покажем, что формулы Виета позволяют рационально решать уравнения 3-й степеней.
Проведём эксперимент для уравнения 3-й степени
Дано уравнение: x³ -3x²-x+3=0
Ищем корень среди чисел: ±1; ±3
Подбором находим один из корней уравнения, -1.
Следовательно, x³ -3x²-x+3 делится на (x+1)
(x³ -3x²-x+3)/ (x+1)= x²-4x+3
(x+1) (x²-4x+3)=0; x1=-1, x2=3, x3=1
Ответ: -1;1;3

9. Решение задач

Теперь решим то же уравнение с помощью формул Виета
x³ -3x²-x+3=0
По формулам Виета:
x1 +x2 + x3=3
x1 x2 + x2 x3+x1 x3=-1
x1 x2x3=-3
Следовательно, корни уравнения равны -1; 1; 3.
Вывод: формулы Виета позволяют рационально решить это уравнение.
Поскольку формулы Виета имеют обобщение для уравнения степени n, то можно быть уверенным, что
утверждение об обратных корнях верно и для уравнений 3-й, 4-й и более высоких степеней.

10. Заключение

В курсе углубленного изучения математики 10 класса я познакомился с темой «Формулы Виета для
уравнений третьей степени». В учебнике решение таких уравнений рассмотрено на конкретных примерах.
Тема достаточно сложная. Некоторые выкладки в учебники опущены. Мне приходилось самому разбираться
и доводить выкладки до конца. Меня эта тема заинтересовала, вследствие чего и появилась идея написания
данного проекта. В своем проекте я выяснил:
-кто такой Виет и где он жил,
-какие уравнения называются квадратными уравнениями и уравнениями третьей степени,
-как решаются уравнения третьей степени с использованием теоремы Виета.
Моей исследовательской частью является опрос среди старшеклассников и учителей нашей школы. Им
были заданы следующие вопросы:
«Знаете ли вы, что такое квадратные уравнения, уравнения третьей степени?»
«Если да, то умеете ли вы их решать с использованием теоремы Виета?»

11. Заключение

Возвращаясь к таблице я могу сделать вывод, что из опрошенных нами учеников и преподавателей все
знают, что такое квадратное уравнение, но не все знают какие уравнения называются уравнениями третьей
степени, а тем более не умеют их решать с помощью теоремы Виета. Я считаю, что мой проект может
помочь учащимся, заинтересовавшимся этой темой, желающих научиться решать такие уравнения.
На мой взгляд, формулы Виета - очень важное математическое открытие. Люди пользуются ей уже пятое
столетие. Но история теоремы на этом не закончится. Я уверен, что и в будущем её будут применять,
исследовать и открывать в ней новые аспекты.

12. Спасибо за внимание!