Функция и плотность распределения и их свойства

1. Функция и плотность распределения и их свойства

Лекция 6

2. Функция распределения и ее свойства

Очевидно, ряд распределения случайной величины может быть
построен только для дискретных случайных величин. Для
непрерывных случайных величин нельзя даже перечислить все
возможные значения.
Для характеристики поведения непрерывной случайной
величины целесообразно использовать вероятность события
{ X x} , а не { X x} , где x - некоторое действительное число. С
точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее,
например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов.
Более важным является событие вида { X 900} или { X 900} . Такое
событие имеет ненулевую вероятность, т.е. при изменении x
вероятность события
{ X x}
в общем случае будет меняться.
Следовательно, вероятность P{ X x} является функцией от x .

3. Функция распределения и ее свойства

Универсальным способом задания закона распределения
вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для
непрерывных
случайных
величин,
является
ее
функция
распределения, обозначаемая F(x).
Функцией
распределения
случайной
величины
Х
называется функция F(x), которая для любого числа x R равна
вероятности события { X x} .
F ( x) P{ X x} т.е. F ( x) P{ : X ( ) x} .
(3)
Функция F(x) называют также интегральной функцией
распределения.
Геометрически равенство (3) можно истолковать так: F(x)
есть вероятность того, что случайная величина Х примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой,
лежащей левее точки
интервал ( , x) .
x,
т.е случайная точка
Х попадает в

4. Функция распределения и ее свойства

Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. F (x) ограничена, т.е. 0 F ( x) 1 .
2. F (x) - неубывающая функция на R, т.е. если x2 x1 , то
F ( x2 ) F ( x1 ) .
3.
F (x )
обращает в ноль на минус бесконечности и равна
единице в плюс бесконечности, т.е. F ( ) 0, F ( ) 1 .
4. Вероятность попадания случайной величины Х в
промежуток [a, b) равна приращению ее функции распределения
на этом промежутке, т.е.
P{a X b} F (b) F (a) .
(4)
5. F (x) непрерывна слева, т.е. x limx 0 F ( x) F ( x0 ) .
0

5. Функция распределения и ее свойства

С помощью функции распределения можно вычислить
вероятность события { X x} :
P{ X x} 1 F ( x) .
Можно дать более точное определение непрерывной
случайной величины.
Случайную величину Х называют непрерывной, если ее
функция
распределения
непрерывна
в
любой
точке
и
дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

6. Функция распределения и ее свойства

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х
примет заранее указанное определенное значение a , равна нулю.
Действительно, применим формулу (4) к промежутку [a, x) :
P{a X x} F ( x) F (a) . Будем
a . Так как функция
неограниченно приближать точку x к
F (x ) непрерывна в точке a , то lim F ( x) F (a ) . В
x a
F ( x) F (a) F (a) F (a) 0 . Если функция
пределе получим P{ X a} lim
x a
F (x )
везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного
значения случайной величины равна нулю. Следовательно, для
непрерывных случайных величин справедливы равенства
P{a x b} P{a x b} P{a x b} P{ X (a, b]} .

7. Функция распределения и ее свойства

Функция распределения дискретной случайной величины
имеет вид
F ( x) pi .
xi x
(5)
Здесь суммирование ведется по всем i для которых xi x .
Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные
черные. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найти закон
распределения числа белых шаров в выборке и найти функцию
распределения.

8. Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины
(помимо
функции
распределения)
является
плотность
вероятностей
непрерывной
распределения вероятностей.
Плотностью
распределения
случайной величины Х называется первая
производная от ее
функции распределения.
Обозначается
плотность
распределения
непрерывной
случайной величины через f (x) или p (x ) .
Таким образом, по определению
f ( x) F / ( x) .
Функция
f (x)
(1)
называют также дифференциальной функцией
распределения; она является одной из форм закона распределения
непрерывной случайной величины.

9. Плотность распределения и ее свойства

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из
определения производной следует
F ( x)
F ( x x) F ( x)
lim
.
x 0
z 0
x
x
f ( x) lim
Но согласно свойству функции распределения
F ( x x) F ( x) P{x X x x} .
P{x X x x}
Отношение
представляет собой среднюю
x
вероятность, которая приходится на единицу длины участка
[ x, x x) , т.е. среднюю плотность распределения вероятности.

10. Плотность распределения и ее свойства

Тогда
P{x X x x}
,
x 0
x
f ( x) lim
(2)
т.е. плотность распределения есть предел отношения вероятности
попадания случайной величины в промежуток
[ x, x x) к длине
x этого промежутка, когда x стремится к нулю. Из равенства (2)
следует, что
P{x X x x} f ( x) x .
То есть плотность вероятности определяется как функция
f (x ) ,
удовлетворяющая условию P{x X x dx} f ( x)dx . Выражение
f ( x)dx называется элементом вероятности.

11. Плотность распределения и ее свойства

Отметим, что плотность f (x) аналогична таким понятиям, как
плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в
теории электричества.
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1.
Плотность распределения f (x) неотрицательная функция,
т.е. f ( x) 0 .
2.
Вероятность
попадания
величины в промежуток
непрерывной
[ a, b]
случайной
равна определенному
интегралу от ее плотности в пределах от a до b , т.е.
b
P(a X b) f ( x)dx .
a
3.
Функция
распределения
непрерывной
случайной
величины представляется через плотность распределения
x
в виде: F ( x) f (t )dt

12. Плотность распределения и ее свойства

1.
Несобственный интеграл от плотности вероятности в
бесконечных пределах равен единице, т.е.
f ( x)dx 1 .
Можно дать еще одно определение непрерывной случайной
величины.
Определение.
Случайная
величина
Х
называется
непрерывной, если существует неотрицательная функция
такая, что при любом
x
f (x )
функцию распределения можно
x
представить в виде F ( x) f (t )dt .
Пример. Плотность распределения непрерывной случайной
величины Х задана функцией f ( x)
a.
a
. Найти значение параметра
1 x2