Системы счисления. Непозиционные системы счисления

1.

Это совокупность правил
для записи чисел и
действий над ними.

2.

Количественные значения
символов, используемых
для записи чисел, зависят
от их положения (места,) в
коде числа
Количественные
значения символов,
используемых для
записи чисел, не зависят
от их положения (места,)
в коде числа

3.

4.

5. Римская система счисления

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Римская система счисления.
Алфавит I, V, X, L, C, D, M
Правила образования чисел:
Если символ с меньшим количественным эквивалентом записан слева от символа
с большим количественным эквивалентом, то числовые значения символов
вычитаются, иначе – складываются.
Пример
IX = 10 -1 = 9
XI = 10 + 1 = 11
XCV = 95
VL =45

6.

7.

8.

9.

Так как запись чисел с помощью алфавитной системы
счисления была достаточно сложна, то в старину на Руси
среди простого народа широко применялись системы
счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их
помощью сборщики податей заполняли квитанции об
уплате подати — ясака (ясачные грамоты) и делали
записи в податной тетради.
Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках:
«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому
Старосте, от которого внесен будет ясак, кроме изложения
словами,
было
показано
особыми
знаками
число
внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом
сего числа могли быть уверены в справедливости показания.»
Употребляемые в квитанции знаки означают:

10.

11.

12. Десятичная система счисления Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число углов в ней.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
ДРЕВНЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР НЕ
СЛУЧАЙНО: КАЖДАЯ ЦИФРА ОБОЗНАЧАЕТ
ЧИСЛО УГЛОВ В НЕЙ.
НАПРИМЕР:
0 - УГЛОВ НЕТ, 1 - ОДИН УГОЛ, 2 - ДВА УГЛА И Т.Д.

13.

Алфавит СС – набор
символов для записи чисел
Основание СС – это
количество символов
необходимых для записи числа
Основание записывается справа,
например:

14.

15. Рассмотрим примеры алфавитов для позиционных систем счисления с различными основаниями

РАССМОТРИМ ПРИМЕРЫ АЛФАВИТОВ ДЛЯ ПОЗИЦИОННЫХ
СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ОСНОВАНИЯМИ
Десятичная система счисления:
Основание – 10
Алфавит – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Восьмиричная система счисления:
Основание – 8
Алфавит – 0,1,2,3,4,5,6,7
Пятиричная система счисления:
Основание – 5
Алфавит – 0,1,2,3,4
Двоичная система счисления:
Основание – 2
Алфавит – 0,1

16. Рассмотрим примеры алфавитов для позиционных систем счисления c основаниями больше 10

РАССМОТРИМ ПРИМЕРЫ АЛФАВИТОВ ДЛЯ ПОЗИЦИОННЫХ
СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ C ОСНОВАНИЯМИ БОЛЬШЕ 10
Двенадцатиричная система счисления:
Основание – 12
Алфавит – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Шестнадцатиричная система счисления:
Основание – 16
Алфавит – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Основание любой позиционной системы счисления
записывается как 10 !!!

17. Развёрнутая форма записи числа

РАЗВЁРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА
56310 = 500 + 60 + 3 = 5*100 + 6*10 + 3 =
= 5*102 + 6*101 + 3*100
4137 = 3*70 + 1*71 + 4*72 = 3 + 7 + 196 = 20610

18. Перевод числа в десятичную СС

ПЕРЕВОД ЧИСЛА В ДЕСЯТИЧНУЮ СС
Для перевода целого числа из любой СС в
десятичную, необходимо его записать в виде
многочлена, состоящего из произведений
цифр числа и соответствующей степени
основания, и вычислить по правилам
десятичной арифметики.
3167 = 6*70 + 1*71 + 3*72 = 6 + 1*7 +3*49 =
А0912 = 9*120 + 0* 121 + 10*122 = 9 + 1440 = 1449

19. Задание: Переведите числа в десятичную систему счисления

ЗАДАНИЕ: ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ
1010104
2. 3456
3. 10912
4. 101000112
5. 5218
6. 10E16
7. 21103
Ответы: 1092, 137, 153, 163, 337, 270, 66
1.

20. Задание: Переведите числа в десятичную систему счисления

ЗАДАНИЕ: ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ
10D14
2. 2AB12
3. 1С813
4. А1111
5. 2EC15
6. F0E16
7. 2ABC14
1.

21. ЗАДАНИЕ Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

ЗАДАНИЕ
ВЫПОЛНИТЕ ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В
ДЕСЯТИЧНУЮ
10110, 11001, 11110,
101010, 110010, 111000, 111011, 1101010
СТЕПЕНИ ДВОЙКИ
27
26
25
24
23
22
21
20
128
64
32
16
8
4
2
1

22. Алгоритм перевода целых чисел из десятичной СС А10 в любую другую сс Ар

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ
ДЕСЯТИЧНОЙ СС А10 В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ СС АР
Для перевода десятичного числа в систему
счисления с основанием р его необходимо
последовательно делить на это основание до тех
пор, пока не останется остаток, меньший данного
основания. Число в новойй системе записывается
как последовательность последнего результата
деления и остатков от деления в обратном порядке.
75 =10010112

23.

Последовательно выполнять деление данного
числа и получаемых частных на основании новой
ССч, пока не получим частное меньше делителя.
Полученные остатки от деления являющиеся
цифрами числа в новой ССч, привести в
соответствие новой ССч.
Записать новое число начиная с последнего
остатка
и
75 = 1138
Для записи чисел в данной А16 системе счисления
используют следующие знаки:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).
75 = 4В16

24. ЗАДАНИЕ 1 Выполните перевод чисел из десятичной системы счисления в , А2, А7, А12 А16,,

ЗАДАНИЕ 1
ВЫПОЛНИТЕ ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ В
,
А2, А7, А12 А16,,
49, 92, 150, 201, 211, 250, 305, 349, 720
ЗАДАНИЕ 2
Выполните перевод чисел из десятичной системы счисления
в двоичную с проверкой
27, 52, 61, 134, 187

25. Системы счисления с основанием 2N

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ 2N
Перед математиками и конструкторами 50-х годов встала
проблема отыскания таких систем счисления, которые
отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и
создателей программного обеспечении. Одним из итогов
этих исследований стало значительное изменение
представлений о системах счисления и о методах
вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым
человечество пользуется с древнейших времен, может
совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на
удивление эффективно.

26.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу
систем счисления и разработали способы преобразования
чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления
относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Официальное рождение двоичной арифметики связанно с
именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в
которой он рассмотрел правила выполнения арифметических
действий над двоичными числами.
Двоичная система проста, так как для представления
информации в ней используются всего два состояния или две
цифры. Такое представление информации принято называть
двоичным кодированием.

27.

Преимущества двоичной системы счисления:
Простота совершаемых операций
Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя
только два состояния элементов компьютера.
Недостаток двоичной системы счисления:
Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число.
Для представления двоичных чисел вне компьютера используют более
компактные по длине чисел восьмеричную (для записи кодов чисел и
машинных команд) и шестнадцатеричную (для записи адреса команд) системы
счисления.

28.

29. Быстрый перевод А2 А8 А16

БЫСТРЫЙ ПЕРЕВОД
А2 А8 А16
А2
А8
Чтобы перевести число из двоичной системы в
восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр),
начиная с младшего разряда, в случае необходимости
дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить
соответствующей восьмеричной цифрой.
10010112 = 001 001 011 =1138 (001=1, 011=3)

30. Быстрый перевод А2 А8 А16

БЫСТРЫЙ ПЕРЕВОД
А2
А2 А8 А16
А16
Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в
шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки
цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости
дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду
заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой
10111000112 =0010 1110 0011 = 2E316
0010 = 2, 1110 = 14 =Е, 0011 = 3

31. Быстрый перевод А2 А8 А16

БЫСТРЫЙ ПЕРЕВОД
А8
А2 А8 А16
А2
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо
каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной
триадой.
5318 = 101 011 0012 5018 = 101 000 0012
А16
А2
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное
необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей
двоичной тетрадой.
ED816 = 1110 1101 10002

32. Быстрый перевод А2 А8 А16

БЫСТРЫЙ ПЕРЕВОД
А2 А8 А16
При переходе из восьмеричной системы счисления в
шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный
перевод чисел в двоичную систему.
FCA16
A8
FCA 16 = 1111 1100 10102
1111 1100 10102 = 111 111 001 010 = 77128

33. Домашняя работа

ДОМАШНЯЯ РАБОТА
Вариант 1
1.Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
58, 266, 80, 523 (числа А10)
2. Переведите числа из А 8 в А16 3078, 7368
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 2
1/Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
49, 200, 63, 496 (числа А10)
2/Переведите числа из А16 в А 8 29716, A0316
Вариант 6
1/Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
58, 266, 100, 523 (числа А10)
2/Переведите числа из А16 в А 8 90116, F1016
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вариант 7
1.Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
98, 111, 80, 432 (числа А10)
2.Переведите числа из А 8 в А16 1558, 3048
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вариант 3
1.Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
80, 366, 271, 430 (числа А10)
2.Переведите числа из А 8 в А16 578, 3008
Вариант 8
1/Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
78, 366, 123, 729 (числа А10)
2/Переведите числа из А16 в А 8 48016, 1E316
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вариант 4
Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
158, 270, 74, 411 (числа А10)
Переведите числа из А16 в А 8 2C416, 50316
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вариант 9
1.Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
77, 209, 163, 499 (числа А10)
2.Переведите числа из А 8 в А16 6008, 7318
Вариант 5
Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
521, 66, 85, 123 (числа А10)
Переведите числа из А 8 в А16 5128, 7008
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вариант 10
1/Переведите числа в А2 А 8 А16, используя быстрый перевод:
90, 466, 270, 555 (числа А10)
2/Переведите числа из А16 в А 8 15A16, 20D16