Схема Бернулли повторных испытаний

1.

Схема
Бернулли
повторных
испытаний
Мухарамов Амирхан
Волков Арсений
Э-24-1

2.

Биография Якоба Бернулли
Якоб Бернулли (1654–1705) – швейцарский математик, основоположник теории вероятностей. Он
родился в Базеле, в семье торговцев специями. Несмотря на желание семьи видеть его
священником, Якоб увлекся математикой и астрономией. После учебы в Университете Базеля он
путешествовал по Европе, знакомясь с ведущими учеными, такими как Роберт Бойль и Роберт Гук.
Вернувшись в Базель, Якоб начал преподавать математику и проводил исследования в области теории
вероятностей, комбинаторики и исчисления бесконечно малых величин. Совместно с братом
Иоганном Бернулли он внес значительный вклад в развитие дифференциального и интегрального
исчислений.
Главным достижением Якоба Бернулли стало создание теории вероятностей. Его труд Ars Conjectandi
("Искусство предположений"), опубликованный посмертно в 1713 году, заложил основы современной
теории вероятностей. В нем представлены такие ключевые понятия, как случайные события,
вероятности и их комбинации, а также методы расчета вероятностей сложных событий.
Одним из важных результатов, представленных в Ars Conjectandi, является закон больших чисел,
утверждающий, что при большом количестве независимых испытаний частота наступления
некоторого события приближается к его теоретической вероятности. Этот закон до сих пор широко
используется в статистике и теории вероятностей.
Кроме того, Якоб Бернулли занимался изучением кривых, таких как циклоиды, и разработкой метода
нахождения касательных к кривым. Он также внес значительный вклад в исследование бесконечных
рядов, введя понятие суммы ряда и доказав ряд теорем об их свойствах.
Якоб Бернулли умер в 1705 году в Базеле. Его труды оставили глубокий след в истории математики и
послужили основой для дальнейших исследований в области теории вероятностей. Имя Якоба
Бернулли увековечено в ряде математических понятий, таких как "схема Бернулли" и
"распределение Бернулли".

3.

Что такое схема Бернулли?
Схема Бернулли — это модель последовательности независимых экспериментов (испытаний), каждый из которых имеет два
возможных исхода: успех (S) и неудача (F). Вероятность успеха (p) остается одинаковой для всех испытаний. Это означает,
что результат одного испытания никак не влияет на результаты последующих испытаний.
Схема Бернулли, названная в честь Якоба Бернулли, является одной из основных математических моделей, используемых
в теории вероятностей для описания независимых повторений опытов . В рамках этой схемы предполагается наличие
некоторого опыта E и связанного с ним случайного события A . Проводится n независимых повторений этого опыта, и в
каждом из них событие A может произойти (успех) с вероятностью p или не произойти (неудача) с вероятностью q=1−p.
Таким образом, схема Бернулли определяется параметрами n и p.
Формула:
Для схемы Бернулли характерно биномиальное распределение, которое задается набором чисел, где k принимает
значения от 0 до n, а n принадлежит множеству натуральных чисел.
Основные характеристики схемы Бернулли:
• Независимые испытания: Каждый эксперимент проводится независимо от предыдущих и последующих.
• Два возможных исхода: Испытание может завершиться либо успехом (S), либо неудачей (F).
• Постоянная вероятность успеха: Для каждого испытания вероятность успеха (pp) одна и та же.
Пример: Подбрасывание честной монеты. Каждое испытание (подбрасывание) является независимым, возможны два
исхода (орёл или решка), и вероятность выпадения орла (успеха) всегда равна 0.5.
Эта модель широко используется в теории вероятностей и статистике для анализа последовательностей событий с двумя
возможными исходами.

4.

Как вычеслить вероятность?
Вероятность в схеме Бернулли рассчитывается с помощью формулы биномиального распределения. Эта формула определяет вероятность того, что
событие произойдет k раз в n независимых испытаниях, если вероятность наступления события в каждом отдельном испытании равна p.
Формула:
где:
• X — случайная величина, представляющая количество успешных исходов,
• k — количество успешных исходов,
• n — общее количество испытаний,
• p — вероятность успешного исхода в одном испытании,
— число сочетаний из n по k, которое определяется формулой:
Пример: Допустим, вы подбрасываете монету 10 раз (n=10) и хотите узнать вероятность того, что орёл выпадет 5 раз (k=5). Поскольку вероятность
выпадения орла в одном броске равна 0.5 (p=0.5), подставляем значения в формулу:
Рассчитаем число сочетаний:
Тогда:
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 5 раз из 10 попыток, составляет примерно 24.61%.

5.

Биномиальное распределение
Биномиальное распределение — это одна из важнейших моделей в статистике, которая связана с последовательностью независимых испытаний, имеющих два
возможных исхода (успех или неудача). Это распределение часто называют распределением Бернулли, поскольку оно тесно связано с о схемой Бернулли.
Определение биномиального распределения
Пусть у нас есть последовательность из n независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода: успех (S) с вероятностью p и неудача (F) с
вероятностью q=1−p. Тогда случайная величина X, равная числу успехов в этих nn испытаниях, подчиняется биномиальному распределению с параметрами n и p.
Формула биномиальной вероятности
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, задается следующей формулой:
где
— число сочетаний из n по k, которое равно
Свойства биномиального распределения
Среднее значение: Среднее значение (математическое ожидание) биномиально распределенной случайной величины равно np.
Дисперсия: Дисперсия этой случайной величины равна npq.
Стандартное отклонение: Стандартное отклонение равно
Связь со статистикой
Биномиальное распределение широко используется в различных областях статистики, таких как проверка гипотез, выборочный контроль качества продукции, анализ
данных в медицине и биологии, а также в социологических исследованиях.
Например, если мы хотим проверить качество партии изделий, выбираем случайную выборку размером nn и проверяем, сколько из них соответствуют стандарту
(успех). Затем, используя биномиальную модель, можем оценить вероятность того, что доля дефектных изделий в общей партии прев ышает допустимый уровень.
Биномиальное распределение играет ключевую роль в статистике, позволяя оценивать вероятности событий в схемах с двумя возможными исходами. Оно находит
широкое применение в различных научных дисциплинах и практических приложениях, помогая принимать обоснованные решения на осно ве анализа данных.

6.

Применение схемы Бернулли
в реальной жизни
Схема Бернулли представляет собой важную концепцию в теории вероятностей, которая находит множество применений в реальной жиз ни. Рассмотрим некоторые из
наиболее распространенных областей, где она используется:
1. Игры и азартные игры
Подбрасывание монеты: Классический пример схемы Бернулли — это подбрасывание монеты. Здесь возможно два исхода: орёл (успех) и решка (неудача).
Вероятность выпадения каждой стороны одинакова и равна 0.5. Если мы подбрасываем монету несколько раз, то можем рассчитать ве роятность получения
определённого количества орлов или решек.
Игральные кости: Другой пример — бросание игральной кости. Если нас интересует выпадение какого-то конкретного числа, скажем шестерки, то вероятность этого
события в одном броске равна 1/6. Используя схему Бернулли, можно определить вероятность выпадения шестерки определенное коли чество раз в серии бросков.
2. Контроль качества продукции
В промышленности часто используют схему Бернулли для контроля качества продукции. Например, из большой партии товаров выбираю т случайную выборку и
проверяют, сколько из них соответствуют стандартам. Если вероятность брака известна, можно рассчитать вероятность обнаружения определенного количества
бракованных единиц в выборке.
3. Медицина и эпидемиология
В медицине схема Бернулли применяется для оценки эффективности лечения или диагностики. Например, если проводится клиническое испытание нового лекарства,
то пациентов делят на две группы: одну лечат новым препаратом, другую — плацебо. По результатам эксперимента можно оценить вероятность выздоровления или
улучшения состояния пациента под воздействием препарата.
Также схема Бернулли используется в эпидемиологии для прогнозирования распространения инфекционных заболеваний. Здесь «успех» может означать заражение
индивида, а «неудача» — отсутствие заражения.
4. Маркетинг и реклама
В маркетинге схема Бернулли помогает оценить эффективность рекламных кампаний. Например, можно рассчитать вероятность того, что определенный процент
людей откликнется на рекламу и совершит покупку после просмотра рекламного ролика.
5. Спортивные соревнования
В спортивных соревнованиях схема Бернулли может использоваться для оценки вероятности победы одной команды над другой. Например, если известны шансы
команд на победу в отдельных матчах, можно рассчитать вероятность того, что одна команда выиграет серию игр.

7.

Почему важно знать
схему Бернулли?
Преимущества использования схемы Бернулли
1. Простота расчетов
Схема Бернулли предлагает простые методы для определения вероятности определенных событий. Даже если у вас много испытаний, расчеты остаются
относительно простыми и удобными для выполнения.
2. Широкий спектр применений
Схема Бернулли находит применение в самых разных областях, таких как:
Азартные игры: подбрасывание монет, бросание костей.
Контроль качества: оценка доли бракованной продукции.
Медицина: клинические испытания новых лекарств.
Маркетинг: оценка отклика на рекламные кампании.
Страхование: оценка рисков страховых случаев.
Такая универсальность делает схему Бернулли очень полезной в различных ситуациях.
3. Моделирование случайных процессов
Схема Бернулли позволяет создавать модели, которые учитывают неопределенность и вариативность реальных явлений. Это помогает предсказывать и планировать
в условиях неопределенности.
Например, в финансовом анализе можно использовать схему Бернулли для оценки вероятности получения прибыли или убытков, учитывая разные рыночные условия.
Почему важно знать схему Бернулли?
Основы теории вероятностей: Схема Бернулли является фундаментальным элементом теории вероятностей, и её понимание помогает лучше разбираться в других,
более сложных концепциях.
Принятие решений: Использование схемы Бернулли позволяет принимать обоснованные решения в условиях неопределенности, опираясь на рассчитанные
вероятности.
Практическая польза: Знание схемы Бернулли дает возможность решать разнообразные задачи в науке, бизнесе и повседневной жизни.

8.

Ограничения схемы Бернулли
Схема Бернулли, несмотря на свою полезность, имеет определенные ограничения, которые следует учитывать при её
применении. Рассмотрим их подробнее:
1. Необходимость независимости испытаний
Одно из ключевых условий схемы Бернулли заключается в том, что все испытания должны быть независимыми друг от
друга. Это означает, что результат одного испытания не должен влиять на результат следующего. Однако в реальной жизни
такие ситуации встречаются далеко не всегда. Например, если вы тестируете продукцию на наличие дефектов, и первый
найденный дефект вызывает остановку производства до устранения проблемы, последующие тесты уже не будут
независимы.
2. Ограничение на два исхода
Схема Бернулли предполагает, что каждое испытание имеет только два возможных исхода: успех и неудача. В реальности
многие процессы могут иметь больше двух вариантов исходов. Например, при оценке удовлетворенности клиентов могут
быть варианты "очень доволен", "удовлетворен", "нейтрален", "неудовлетворен" и так далее. В таких случаях схема
Бернулли становится менее подходящей.
3. Проблемы при большом количестве испытаний
Хотя схема Бернулли теоретически работает для любого количества испытаний, на практике при большом числе испытаний
могут возникнуть сложности. Во-первых, вычисления становятся более трудоемкими, особенно если вручную считать
комбинации и вероятности. Во-вторых, при увеличении числа испытаний возрастает риск ошибок и погрешностей, особенно
если используются приближенные методы расчета.
Ограничения схемы Бернулли включают необходимость независимости испытаний, ограничение на два исхода и
потенциальные трудности при работе с большим количеством испытаний. Эти факторы необходимо учитывать при выборе
метода анализа и принятии решений на основе полученных результатов.

9.

Дополнительные аспекты
Схема Бернулли, помимо своего классического применения, может быть использована в более сложных и специализированных контекстах.
Рассмотрим три ключевых направления:
1. Моделирование сложных систем
Схема Бернулли может служить основой для построения более сложных математических моделей, которые описывают поведение
динамических систем. Например, она может быть интегрирована в модели цепей Маркова, где переходы между состояниями системы зависят
от предыдущих состояний, но сами состояния определяются как успехи или неудачи в рамках схемы Бернулли. Такие модели позволяют
исследовать эволюцию систем во времени, предсказывая будущие состояния на основе текущих данных.
2. Прогнозирование событий
Схема Бернулли может использоваться для прогнозирования будущих событий, основанных на исторических данных. Например, в финансовой
сфере можно применять схему Бернулли для оценки вероятности изменения курса акций или валют на основании прошлых колебаний.
Аналогично, в метеорологии схема Бернулли может помогать прогнозировать погодные условия, исходя из наблюдений за прошлыми
периодами.
3. Оптимизация производственных процессов
В производственной среде схема Бернулли может быть использована для оптимизации процессов путем минимизации количества дефектов
или максимизации выхода качественной продукции. Например, производители могут проводить регулярные проверки качества продукции,
используя схему Бернулли для оценки вероятности нахождения дефектов в случайной выборке.
Результаты таких проверок помогают корректировать производственные процессы, снижать затраты и повышать общую эффективность работы
предприятия.
Расширенное использование схемы Бернулли включает моделирование сложных систем, прогнозирование событий и оптимизацию
производственных процессов. Эти области демонстрируют гибкость и универсальность данной концепции, делая её важным инструментом в
различных научно-практических приложениях.

10.

Спасибо за внимание!