Сечения, развертки многогранников

1.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МЦЕНСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.С. ТУРГЕНЕВА»
Сечения, развертки многогранников
Выполнили студенты группы С- 1 – 384:
Буза Эрика, Кристина Лапицкая, Прасковья Рябинина

2.

Правила построения сечений многогранников:
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой,
принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью
каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость
пересекает какую-либо грань, называют следом секущей плоскости

3.

Методы построения сечений
1) Метод следов
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань, называют следом
секущей плоскости
2) Метод внутреннего проектирования
Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно
находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры
3) Комбинированный метод
При построении этим методом на каких-то этапах применяются приёмы, изложенные в методе
следов или методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы,
изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей»

4.

4) Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии
пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F. Удобнее всего строить из
ображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию
называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей
плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F.
Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М1, N1, К1 - их проекции на плоскость основания. При этом
для призм и цилиндров ММ1 || NN1, NN1 || КК1, для конусов и пирамид ММ1 ∩ NN1 ∩ КК1= S (S- вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А1, В1, С1,... верхнего основания - А,
В, С,.... Кратко суть метода следов можно записать следующим образом:
1) МN ∩ М1N1=X
2) МК ∩ М1К1=У
3) ХУ = S - след секущей плоскости
4) A1M1 ∩ S = A0 возможно
5) А0М ∩ А1А = А
6) Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,... нижнего основания фигуры F;
7) - искомое сечение.
Строить сечение фигуры F секущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точ
кой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях ле
гко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме

5.

Задача 1
Рассмотрим прямоугольный
параллелепипед
ABCDA1B1C1D1.
Построим сечение,
проходящее через точки
M, N, L

6.

Соединим точки M и L,
лежащие в плоскости
AA1D1D

7.

Пересечем прямую ML
(принадлежащую
сечению)
с ребром A1D1, они
лежат в одной
плоскости AA1D1D.
Получим точку X1

8.

Точка X1 лежит на
ребре A1D1, а значит
и плоскости A1B1C1D1,
соединим ее с
точкой N, лежащей в
этой
же плоскости.
X1 N пересекается с
ребром A1B1 в точке
К

9.

Соединим точки
K и M, лежащие в
одной плоскости A
A1B1B

10.

Найдем прямую
пересечения плоскости
сечения с плоскостью
DD1C1C:
пересечем прямую ML
(принадлежащую
сечению) с ребром DD1,
они лежат в одной
плоскости AA1D1D,
получим точку X2

11.

Пересечем прямую
KN (принадлежащую
сечению) с ребром
D1C1, они лежат
в одной плоскости A1
B1C1D1, получим точку
X3

12.

Точки X2 и X3 лежат в
плоскости DD1C1C.
Проведем прямую
X2X3 , которая
пересечет ребро C1C в
точке T, а ребро DC в
точке P. И соединим то
чки L и P, лежащие в
плоскости ABCD
MKNTPL - искомое
сечение

13.

Задача 2
Рассмотрим ту же самую задачу
на построение сечения, но
воспользуемся свойством
параллельных плоскостей. Это
облегчит нам построение сечения

14.

Соединим точки M и L,
лежащие в плоскости
AA1D1D

15.

Через точку N, проведем
прямую NT
параллельную прямой
ML. Прямые NT и ML
лежат в параллельных
плоскостях по свойству
параллелепипеда

16.

Пересечем прямую ML
(принадлежащую сечению)
с ребром A1D1, они лежат в
одной плоскости AA1D1D.
Получим точку X1

17.

Точка X1 лежит на ребре
A1D1, а значит и
плоскости A1B1C1D1,
соединим ее сточкой N,
лежащей в этой же
плоскости.
X1 N пересекается с
ребром A1B1 в точке К

18.

Соединим точки K и M,
лежащие в одной
плоскости AA1B1B

19.

Проведем прямую
TP через точку T,
параллельно
прямой KM
(они лежат в
параллельных
плоскостях)

20.

Соединим точки P и L
(они лежат в одной
плоскости)

21.

Задача 3
Постройте сечение призмы A1B1C1
D1ABCD плоскостью, проходящей
через три точки M, N, K.
Рассмотрите все случаи
расположения точек M, N, K на
поверхности призмы

22.

Рассмотрим случай:
M ∈ BB1, N ∈ CC1D1D,
K ∈ AA1E1. В данном
случае очевидно, что
M1 = B1
Построение:
1) MN ⋂ M1N1 = X
2) MK ⋂ M1K1 = Y
3) XY = s – след секущей
плоскости

23.

4) A1K1 ⋂ s = A0
5) A0K ⋂ A1A = A,
A0K ⋂ EE1 = E

24.

6) D1N1 ⋂ s = D0
7) D0N ⋂ DD1 = D,
D0N ⋂ CC1 = C

25.

26.

AMCDE – искомое сечение