Алгоритм построения линейного угла

1.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой
a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не
принадлежащими одной плоскости.
Прямая a – ребро двугранного угла
a
Две полуплоскости – грани двугранного угла

2.

Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного угла
называется градусная мера его
линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскост
линейн
угла
(
РОК
)
DE

3.

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

4.

5. Трехгранные и многогранные углы

6.

7.

8.

9.

10.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Поверхность, образованную конечным
набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …,
An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в
которых соседние углы не имеют общий
точек, кроме точек общего луча, а не
соседние углы не имеют общих точек,
кроме общей вершины, будем называть
многогранной поверхностью.
Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух
частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным
углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла.
Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами
плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями
многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами
SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

11.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
В зависимости от числа граней многогранные углы бывают
трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

12.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является
выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками
целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке
приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных
углов.
Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360°.

13.

Вертикальные многогранные углы
На рисунках приведены примеры трехгранных,
четырехгранных и пятигранных вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.

14.

Измерение многогранных углов
Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется
градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем
считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух
развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла,
выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает
данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну
восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 =
45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине
двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол
n 2,)получаем, что трехгранный угол призмы равен 90(
n 2) .
равен 180(
n
n

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Упражнение 1
Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами:
а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?
Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

26.

Упражнение 2
Приведите примеры многогранников, у которых грани,
пересекаясь в вершинах, образуют только: а)
трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в)
пятигранные углы.
Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;
б) октаэдр;
в) икосаэдр.

27.

28.

Упражнение 3
Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В
каких границах находится третий плоский угол?
Ответ: 10о < < 150о.

29. 1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами А и С2

Рассмотрим
прямоугольный
треугольник, по
теореме Пифагора
Ответ:3

30. 2. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника

прямые.

31. 3. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы мно­гогранника прямые. Ответ дайте в

3. Найдите угол CAD2 многогранника,
изображенного на рисунке. Все двугранные углы
многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник
CAD2 где AC = CD2 =
AD2, т. к. являются
диагоналями равных
квадратов.Следовательно,
треугольник CAD2 — равносторонний, поэтому все
его углы равны 60°.

32. 4. Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Заметим, что ABCD —
квадрат со стороной 2, а
BD — его
диагональ.Значит,
треугольник ABD —
прямоугольный и
равнобедренный,
AB=AD. Угол ABD
равен 45°.

33. 5. На рисунке изображён многогранник, все двугран­ные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2

5. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат
расстояния между вершинами В2 и Д3 .
Ответ:11

34. 6. На рисунке изображён многогранник, все дву­гранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и

6. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите
квадрат расстояния между вершинами А и С3 .
Ответ:17

35. 7. Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ:60