Некоторые следствия из аксиом

1.

Урок 2

2.

Обсуждение домашнего задания:
Назовите по рисунку:
В1
D
С1
Q
P
А1
D1
К
К
М
Р
А
М
В
С
С
R
Е
В
а) точки, лежащие в плоскостях АDВ
и DВС; б)прямые по которым
пересекаются плоскости АВС и DСВ,
АВD и СDА, РDС и АВС.
А
D
а) плоскости, в которых лежит
прямая АА1; б) точки пересечения
прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и
DС.

3.

Некоторые следствия из аксиом:
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость и притом только одна.
Дано:
α
О
Доказать:
(а, М) с α
α- единственная
Р
а
а, М ¢ а
М
Доказательство :
1. Р, О с а; {Р,О,М} ¢ а
По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .
По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и
вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α
2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М
проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она –
единственная. Теорема доказана.

4.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
Н
а
М
b
Дано: а∩b
Доказать:
1. (а∩b) с α
2. α- единственная
α
Доказательство:
1. Рассмотрим прямые а и b, пересекающиеся в точке М. Отметим на
прямой b какую-нибудь точку, например Н. Через а и Н а, Н b
проходит плоскость α.
(М , Н) α, (М,Н) b, значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.
Таким образом, прямая b тоже лежит в данной плоскости.
2. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость,
проходящая через прямые а и b,проходит и через точку Н. Следовательно,
она совпадает с плоскостью α (по Т1).Теорема доказана.

5.

Решим задачу №1 :
Три данные точки соединены попарно
отрезками. Докажите, что все отрезки
лежат в одной плоскости.
1 случай.
Доказательство:
В
1. (А,В,С) α, значит по А1
через А,В,С проходит
единственная плоскость.
2. Две точки каждого отрезка
лежат в плоскости, значит по
А2 все точки каждого из
отрезков лежат в плоскости α.
3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в
плоскости α
α
С
А
2 случай.
С
В
А
α
Доказательство:
Так как 3 точки принадлежат одной
прямой, то по А2 все точки этой
прямой лежат в плоскости.

6.

Задача
№2.
АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М
– точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.
Точки А, Д, О лежат в плоскости α.
Определить и обосновать:
М
1. Лежат ли в плоскости α точки
В и С?
2. Лежит ли в плоскости МОВ
точка Д?
3. Назовите линию пересечения
плоскостей МОВ и АДО.
В
С 4. Вычислите площадь ромба,
О
А
Д
если сторона его равна 4 см, а
острый угол равен 60º.
Предложите различные
способы вычисления
площади ромба.
Запиши ответы в тетрадь

7.

4
В
С
∆АВД = ∆ВСД (по трем
сторонам), значит SАВД = SВСД.
1
AB AD sin A
2
1
S BCD BC CD sin C
2
A C sin A sin C
S ABD
4
4
AB BC , AD CD
60º
А
4
Д
S ABD S BCD
S ABCD AB AD sin A
Формулы для вычисления площади ромба:
SАВСД = АВ · АД · sinA
SАВСД = (ВД · АС):2
Какую формулу для вычисления площади ромба следует применить?
Выполни вычисления в тетради.

8.

Домашнее задание:
1. Записать теоремы (можно без доказательства)
2. Выучить теоремы 1, 2 ( с доказательством, если
желаете получить выше «3»); повторить аксиомы
А1 – А3
3. Записать в тетрадь решение задач №1 и№2,
следуя указаниям в тексте презентации.