Сложение вероятностей

1.

§ 4. Сложение вероятностей
Теорема
сложения
вероятностей
несовместных
событий.
Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме
вероятностей этих событий
P A B P A P B .
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P A1 A2 ... An P A1 P A2 ... P An .
Следствие. Сумма вероятностей событий A1, A2,… An, образующих
полную группу, равна единице
P A1 P A2 ... P An 1 .
Пример. В урне находятся 20 шаров: 10 красных, 6 синих и 4 белых.
Из урны извлекают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Обозначим: событие A – появление красного шара, событие B
– появление синего шара, P A – вероятность появления красного шара,
P B – вероятность появления синего шара. Так как появление шара одного
цвета исключает появление шара другого цвета, то события A и B –
несовместные. Поэтому вероятность появления цветного шара равна
10 6
P A B P A P B
0,8 .
20 20

2.

Пример. Распоряжения на кафедру математики могут придти из
ректората (событие A, P A 0,6 ), учебной части (событие B, P B 0,3 )
и деканата (событие С). Найти вероятность того, что распоряжение
придет из деканата.
Решение. События A, B, и C образуют полную группу, поэтому
P A P B P C 1 ,
откуда искомая вероятность равна
P C 1 P A P B 1 0,6 0,3 0,1.
Теорема сложения вероятностей противоположных событий.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P A P A 1.
Пример. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по
математике, равна p 0,6 . Найти вероятность q того, что студент не
сдаст экзамен.
Решение. События «студент сдаст экзамен» и «студент не сдаст
экзамен» – противоположные, следовательно
q 1 p 0,4 .

3.

Теорема
сложения
вероятностей
совместных
событий.
Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме
вероятностей этих событий за вычетом вероятности совместного
осуществления событий A и B
P A B P A P B P AB .
§ 5. Умножение вероятностей независимых событий
Два события А и В называют независимыми, если вероятность
каждого из событий A и B не зависит от того, произошло другое событие
или не произошло.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность P AB совместного появления двух независимых событий
А и В равна произведению вероятностей этих событий
P AB P A P B .
Пример. Вероятность сдачи экзамена первым студентом (событие
A) равна 0,9, а вторым студентом (событие B) равна 0,4. Найти
вероятность сдачи экзамена обоими студентами.
Решение. Так как события A и B независимые, то
P AB P A P B 0,36 .

4.

§ 6. Условная вероятность. Умножение вероятностей зависимых
событий. Формула полной вероятности
Событие A называют зависимым от события B, если вероятность
появления события A зависит от того, произошло или не произошло
событие B.
Условной вероятностью P A B называют вероятность события A,
вычисленную в предположении, что событие B произошло.
Пример. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из урны
дважды вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Найти
вероятность появления белого шара при втором испытании (событие A),
если при первом испытании вынули черный шар (событие B).
Решение. После первого испытания в урне осталось 6 шаров, из
которых 3 шара белые. Искомая условная вероятность равна
P A B 3 6 1 2 .
Теорема
умножения
вероятностей
зависимых
событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий A и B
равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого события, вычисленную в предположении, что
первое событие произошло
P AB P B P A B P A P B A .

5.

В общем случае по определению условная вероятность события A
при условии, что произошло событие B, вычисляется по формуле
P AB
P A B
P B 0 .
P B
Пример. В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Из урны
извлекают один шар, а затем второй, без возвращения первого шара в
урну. Такое событие (опыт) называют схемой урн без возвращения.
Найти вероятность того, что первый шар – белый, а второй – черный.
Решение. Вероятность того, что первый вынутый шар – белый
(событие A), равна P A 4 10 2 5 . Так как один шар вынут и он
белый, то останется 9 шаров, среди которых 6 черных. Тогда вероятность
того, что второй вынутый шар черный (событие B), вычисленная в
предположении, что первый шар – белый, равна P B A 6 9 2 3 .
Искомая вероятность равна
2 2 4
P AB P BA P A P B A .
5 3 15

6.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких
зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на
условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого
следующего события вычисляется в предположении, что все
предыдущие события уже появились:
P A1 A2 A3 ... An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 ... P An A1 A2 ... An 1 . ,
где P Ak A1 A2 ... Ak 1 – вероятность события Ak, вычисленная в
предположении, что события A1, A2,…, Ak-1 уже наступили, k n .
Пример. Для трех событий A, B и C имеем
P ABC P A P B A P C AB P B P C B P A BC .
P C P A C P B AC ...
Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое
может наступить лишь при условии появления одного из несовместных
событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих событий на
соответствующую условную вероятность события A:
P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bn P A Bn .

7.

Пример. Имеется две урны с шарами. Вероятность того, что шары в
первой урне белые – 0,8, а во второй урне белые – 0,9. Найти вероятность
того, что извлеченный шар из наудачу выбранной урны – белый.
Решение. Обозначим через A событие, что извлеченный шар – белый,
B1 – шар извлечен из первой урны, B2 – из второй урны, P B1 –
вероятность того, что шар извлечен из первой урны, P B2 – вероятность
того, что шар извлечен из второй урны. Тогда имеем
P B1 P B2 0,5 , P A B1 0,8 , P A B2 0,9 ,
P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 0,5 0,8 0,5 0,9 0,85 .
§ 7. Формула Байеса
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из
несовместных событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, образующих полную
группу. Произведено испытание, в результате которого произошло
событие A.
Формула Байеса: условная вероятность P Bi A того, что событие A
произошло в результате появления события Bi, равна
P Bi P A Bi
P Bi P A Bi
P Bi A
P B1 P A B1 P B2 P A B2 ... P Bn P A Bn
P A

8.

Пример. Имеются 3 урны. В первой урне находятся 3 белых шара и
1 черный шар, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – 3 белых. Из
наугад выбранной урны наугад вынимают один шар, оказавшийся
белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второй урны.
Решение. Рассмотрим гипотезы: B1 – шар вынули из первой урны, B2
– шар вынули из второй урны, B3 – шар вынули из третьей урны. Так как
урна выбирается наугад, то P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3. В результате опыта
произошло событие A – из выбранной наугад урны вынут белый шар.
Условные вероятности события A при гипотезах B1, B2, B3 равны
P A B1 3 4 , P A B2 2 5 , P A B3 1 . Тогда искомая вероятность
равна
P B2 P A B2
P B2 A
P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3
1 3 2 5
8
.
1 3 3 4 1 3 2 5 1 3 1 43

9.

§ 8. Формула Бернулли
Формула Бернулли: вероятность появления k раз события A в n
независимых испытаниях равна
Pn k C nk p k q n k .
где p и q – соответственно вероятность появления и не появления события
A в одном испытании.
Пример. Для прядения смешаны поровну волокна неокрашенного и
окрашенного хлопка. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных
волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей
P5 0 P5 1 ,
где P5 0 – вероятность того, что среди пяти случайно выбранных волокон
смеси не будет ни одного окрашенного волокна, а P5 1 – вероятность того,
что среди пяти случайно выбранных волокон смеси будет обнаружено
только одно окрашенное волокно. Согласно формуле Бернулли имеем
0
5
1
4
5! 1 1
1
5! 1 1
5
P5 0
P
1
,
,
5
0!5! 2 2 32
1!4! 2 2
32
Тогда искомая вероятность равна
1
5
3
P5 0 P5 1
.
32 32 16