Математические основы интеллектуальных технологий (Тонких Артём Петрович)

1.

Математические основы
интеллектуальных технологий
Преподаватель –
Тонких Артём Петрович

2.

1. Введение в дисциплину
«Математические основы
интеллектуальных технологий»

3.

Теория нечетких множеств:
- Новый раздел математики
- Практико-ориентированный характер
Причина популярности:
- Предоставляет аппарат формализации
неопределенностей при моделировании реальных
объектов
Формализация любого объекта (процесса)
начинается с описание на естественном языке.
ТНМ позволяет формализовать понятия:
“высокий уровень инфляции”, “средний уровень
доходов” и т.п.

4.

Т.е.
1. ТНМ позволяет проводить математическое
моделирование рассуждений человека.
2. ТНМ является инструментом управления
объектами в условиях неполной и нечеткой
информации.
3. Алгоритмы и технологии ТНМ являются
универсальными.

5.

“Нечеткие множества” (Fuzzy Sets) - Lotfi Askar Zadeh
(1965) американский ученый.
“Нечеткая математика”, “Нечеткая логика”,
“Нечеткая геометрия”
Основная идея:
Расширение канторовского понятия множества.
(функция принадлежности)

6.

2. Примеры обычных и
нечетких множеств

7.

Множество – неопределяемое понятие математики.
Георг Кантор (1845-1918) – “… множество – это
многое, мыслимое как единое”
Каждый раздел математики использует свои
множества.
Универсальное множество U – множество,
включающее в себя все объекты рассматриваемой
задачи. U – максимальное множество.
– минимальное множество.
Любое множество является подмножеством U

8.

Множество A называют подмножеством B – если
все элементы А являются также элементами B.
Задать множество А – определить правило,
позволяющее относительно любого элемента х
однозначно определить x A или x A
Один из способов задания множества - с помощью
характеристической функции

9.

Характеристическая функция множества А –
функция A ( x) заданная на универсальном
множестве U и принимающая значение 1 на тех
элементах множества U, которые принадлежат A, и
значение ноль на тех элементах которые не
принадлежат A:
0, если x A
A ( x)
1, если x A
x U

10.

Пример
U 1,2,3,...,10
Необходимо задать множество А – числа меньше 7
Тогда характеристическую функция будет такой:
0, если x 7
A ( x)
1, если x 7

11.

Пример
U 1,2,3,...,10
Множество B – множество чисел немного меньше 7
Описать такое множество с помощью
характеристической функции нельзя.
- “Намного” или “ненамного” 3 меньше 7?
- Включать 1 и 2 в множество B?
Ответы на эти вопросы зависят от:
- Условий, решаемой задачи.
- Эксперта, решающего задачу.

12.

U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Эксперт относительно каждого элемента U может
высказать мнение, выраженное в виде числа [0; 1] о
принадлежности к множеству B.
B ( x) 1 полная уверенность в принадлежности x к B
B ( x) 0 полная уверенность в непринадлежности
xкB
B ( x) 0,4
B ( x) 0,7

13.

Функция, определяющая степень принадлежности
любого элемента универсального множества к
нечеткому множеству в виде значения на отрезке
[0; 1] называют функцией принадлежности
функция принадлежности описывает субъективный
взгляд эксперта
Таким образом:
А – четкое множество, заданное характеристической
функцией.
B – нечеткое множество, заданное функцией
принадлежности.

14.

Запись множеств:
Значения A ( x ) и B ( x) можно представить в
виде таблицы
Компактная запись конечных множеств:
“+” это не сложение, а объединение
одноэлементных подмножеств U

15.

При компактной записи используется только
несущее множество (носитель) – те элементы
универсального множества U, у которых степень
принадлежности >0
Общая форма записи декретного нечеткого
множества имеет вид:
n
A A (ui ) / ui (ui U )
i 1

16.

Точка перехода x=3, при которой B 0,5
“неизвестно”, “не определено”
Множества бывают нормальными и субнормальными
Нормальные, это те, у которых степень
принадлежности для любого элемента
Достигает значения 1.

17.

Субнормальные множества можно нормировать путем
линейного преобразования значений степени
принадлежности μ

18.

В некоторых случаях удобно графическое
представление нечетких множеств в виде диаграммы
Заде

19.

Пример с непрерывным универсальным множеством
U {x, x R :1 x 3} - рост человека в м
Нечеткие множества:
U B (1,6;2,1)
U C [1;2,05)
U A (1,7;3]

20.

U A (1,7;3]
U B (1,6;2,1)
U C [1;2,05)
Это не интегрирование, а объединение элементов
несущего множества с непрерывным носителем
Запись для дискретного и непрерывного носителя
разная, но читаются оба знака, как “сумма по
множеству U”

21.

Пример записи нечетких множеств

22.

23.

24.

Пример записи нечетких множеств №2
Игра – в кости. Подбрасываются 2 кости, необходимо
угадать количество выпавших очков.
Игрок М делает следующие ставки: 2, 3, 4 – 50 коп.,
5,6,7 – 10 руб., 8,9,10 – 20 руб., 11,12 – 10 руб.
Сформируем неч. множ. А – ожидаемое количество
очков
U 1,2,3,...,10

25.

Табличная запись:
Запись - поэлементная сумма по множеству U:
Запись - сумма по множеству U:

26.

27.

28.

3. Множества α-уровня

29.

Множества α-уровня нечеткого множества – обычное
множества заданного через μA, состоящие из всех
элементов универсального множества U, для которых
выполняется неравенство μA≥α.
Применяются, например, при расчете нечеткого
вывода в нечетких системах управления, а
также при выполнении операций над
нечеткими множествами.

30.

Пример №1:
{0,1; 0,2; 0,5; 0,9}
Множества α-уровня:

31.

Нечеткое множество для α=0,1:
Нечеткие множества остальных уровней:

32.

Объединим:
Получаем:
- знак логической суммы, операция
нахождения супремума

33.

Результат объединения:
А вот исходное множество:
Результат:
Различия:

34.

Пример №2:
А – числа примерно равные 5.
Множество значений α.

35.

36.

Объединим нечеткие множества α-уровня:
Результат:

37.

Сравним результаты примеров №1 и 2:
В первом случаеВо втором случаеПричина различия:
В первом случае множество α включает в
себя не все уникальные значения
степеней принадлежности множества А.
Во втором случае множество α включает
все уникальные значения.

38.

Форма записи разложения множества А
на множества α-уровня.
Запись на не сущем множестве:
Общая форма записи:
“·” – это не умножить, а присвоить степень
принадлежности

39.

Разложением дискретного нечеткого
множества по множествам уровня –
называется его представление в виде
равенства:
Читается, как “сумма множеств αуровня”

40.

Пример №3:
Пусть функция принадлежности нечеткого
множества A имеет следующий вид
Выполним разложение нечеткого
множества по множествам уровня.

41.

42.

43.

Разложением непрерывного нечеткого
множества по множествам уровня –
называется его представление в виде
равенства:

44.

Пример №4:
Пусть функция принадлежности нечеткого
множества A имеет следующий вид
Требуется выполнить приближенное
разложение нечеткого множества

45.

1. Разобьем отрезок [0; 1] на равные части
2. Получим набор дискретных значений
3. Тогда приближенное разложение для
непрерывного множества A примет
“дискретный” вид

46.

4. Методы построения
функции принадлежности

47.

Основная проблема теории нечетких
множеств:
“Основной
трудностью,
мешающей
интенсивному
применению
теории
нечетких множеств при решении
практических задач, является то, что
функция принадлежности должна быть
задана
вне
самой
теории
и
следовательно ее адекватность не может
быть
проверена
непосредственно
средствами теории…

48.

… В каждом известном методе
построения функции принадлежности
формулируются свои требования и
обоснования к выбору именно такого
построения”
Ronald Robert Yager,
Director of the Machine Intelligence Institute and
Professor of Information Systems at Iona College.

49.

Результат:
Наряду с нечеткими множествами
разрабатываются и применяются другие
методы работы с неполной, неточной,
нечеткой информацией:
- Робастные методы
- Вероятностные методы
- Интервальные методы

50.

2
метода
задания
принадлежности:
функций
1. Прямой метод:
Задание
функции
принадлежности
экспертом для каждого значения
универсального множества. Не требуется
точное задание функции, достаточно
фиксации ее вида и характерных
значений

51.

2. Косвенный метод:
Применяется, когда у объекта есть
измеримые свойства.
Примеры:
- функция принадлежности
должна
отражать
близость
к
заранее
выделенному эталону;
- объекты множества
U являются
точками
в
параметрическом
пространстве;
- при попарном сравнении объектов.

52.

Типовые функции принадлежности 1.

53.

Типовые функции принадлежности 2.

54.

Типовые функции принадлежности 3.

55.

Типовые функции принадлежности 4.

56.

Типовые функции принадлежности 5.

57.

Типовые функции принадлежности 6.

58.

Типовые функции принадлежности 7.

59.

Типовые функции принадлежности 8.

60.

Типовые функции принадлежности 9.

61.

Типовые функции принадлежности 10.

62.

Типовые функции принадлежности 11.

63.

Типовые функции принадлежности 12.

64.

Типовые функции принадлежности 13.

65.

Типовые функции принадлежности 14.

66.

Типовые функции принадлежности 15.

67.

Типовые функции принадлежности 16.

68.

Типовые функции принадлежности 17.

69.

5. Меры нечеткости

70.

Идея оценки нечеткости
1. “самое нечеткое” множество
(μ(ui)=0,5)
2. “самое нечеткое” множество
(μ(ui)=0 или 1)
Основная идея:
Определять нечеткость множеств в
зависимости от близости значений
μ(ui) к 0 или 1.

71.

Мера нечеткости
Мера – это значит, что на выходе
должно быть нечеткое число, в
зависимости от степени нечеткости

72.

Аксиомы меры нечеткости

73.

Мера нечеткости обычно рассчитывает
на основе расстояния от нечеткого
множества А до ближайшего к нему
обычного множества A0

74.

Геометрическая интерпретация

75.

Наложение метрики

76.

Виды метрик

77.

Виды метрик

78.

Самое нечеткое множество должно быть С (II
аксиома меры нечеткости):
(?!)

79.

Причина противоречия – “сравнение того, что нельзя
сравнивать”
Решение (2 пути):
1) Дополнить носитель множества С элементами 4 и
5 (значения μ=0)
2) Модифицировать выбранную меру нечеткости.

80.

Модификация алгоритма :
- Нормировка метрики так, чтобы для любого
множества мера нечеткости не превышала 1.
Нормированное расстояние называется индексом
нечеткости.

81.

Индексом нечеткости.
Линейное расстояние.
Евклидово расстояние.
Линейное расстояние.
Евклидово расстояние.

82.

Вернемся к тому примеру:
Индексом нечеткости.

83.

Еще один пример

84.

85.

86.

87.

88.

Операции концентрирования и растяжения

89.

Операции над нечеткими
множествами

90.

91.

92.

93.

Строгое включение или строгое подмножество имеет место, когда хотя бы одно
из неравенств является строгим (<).

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

6. Синтез нечетких систем

112.

Традиционный подход к постановке
и решению задач управления и
регулирования основывается на
предположениях, что модель
объекта управления (ОУ) известна
На практике – математические
модели ОУ очень сложные….

113.

Система управления/диагностики:
1. Объект управления
2. Управляемый сигналы (на
которые можно оказывать
воздействие)
3. Измеряемые сигналы
4. Воздействия внешней среды

114.

Воздействия внешней среды
Вход
Объект
управления
Выход

115.

Воздействия внешней среды
Вход
ОУ
САУ
Выход

116.

Для того чтобы произвести синтез
нечеткой системы надо знать 1-4.
И как зависят управляемый сигнал от
измеряемых в виде правил
ЕСЛИ …. И … И …. , ТО

117.

Для того, чтобы сформулировать правила
вида
ЕСЛИ …. И … И …. , ТО
Необходимо определить все возможные
состояния для каждого измеряемого
параметра.

118.

Например если измеряется температура,
то вариант для 5 ее состояний.
Значения нормированные / не
действительные.

119.

Варианты возможных состояний:
negative big (NB),
negative medium (NM),
negative small (NS),
zero (ZR),
positive small (PS),
positive medium (PM),
positive big (PВ)
Количество состояний может быть:
3, 5, 7, 9

120.

Для каждый измеряемых и управляемого
параметра
x3

121.

Формирование правил

122.

1. Фаззификация
2. Расчет нечеткого выхода по базе
нечетких правил
3. Дефаззификация
Эти три оператора зависит от выбранного
алгоритма (Larsen, Mamdani, )

123.

7. Нечеткие и
лингвистические
переменные

124.

Понятие нечеткой и лингвистической
переменных использу­ется при
описании объектов и явлений с
помощью нечетких мно­жеств.

125.

Нечеткая переменная характеризуется
тройкой (α, X, А),где
α — наименование переменной;
X — универсальное множество (область
определения α);
А — нечеткое множество на X, описывающее
ограничения (т.е. μA(x))на значения нечеткой
переменной α.

126.

Лингвистическойпеременной (ЛП)
называется набор (β, Т, X, G, М), где
β — наименование лингвистической
переменной;
Т — множество ее значений (терммножество), представляю­щих собой
наименования нечетких переменных,
областью опре­деления каждой из которых
является множество X.
Множество Т называется базовым терммножеством лингвистической
переменной;

127.

G — синтаксическая процедура, позволяющая
оперировать эле­ментами терм-множества T, в
частности, генерировать новые тер­мы
(значения). Множество T∪G(T), где G(T) —
множество сгене­рированных термов,
называется расширенным терм-множеством
лингвистической переменной;
М — семантическая процедура, позволяющая
превратить каж­дое новое значение
лингвистической переменной, образуемое про­
цедурой G, в нечеткую переменную, т.е.
сформировать соответ­ствующее нечеткое
множество.

128.

Общепринятые упрощения
1) символ β используют как для названия
самой переменной, так и для всех ее
значений;
2) пользуются одним и тем же символом
для обозначения не­четкого множества и
его названия, например терм «Молодой»,
явля­ющийся значением лингвистической
переменной β = «возраст», одновременно
есть и нечеткое множество М(«Молодой»).

129.

Пример. Пусть эксперт определяет
толщину выпускаемого изделия с
помощью понятий «Малая толщина»,
«Средняя толщина» и «Большая толщина»,
при этом минимальная толщина равна 10
мм, а максималь­ная – 80 мм.
Формализация такого описания может
быть проведена с помощью следующей
лингвистической переменной (β, Т, X, G, М)

130.

β — толщина изделия;
Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина»,
«Большая толщина»};
X — [10, 80];
G — процедура образования новых термов с
помощью связок «и», «или» и модификаторов
типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например:
«Малая или средняя толщина», «Очень малая
толщина» и т.д.;

131.

М — процедура задания на X = [10, 80]
нечетких подмножеств А1 = «Малая
толщина», А2= «Средняя толщина», A3 =
«Большая толщи­на», а также нечетких
множеств для термов из G(Т)в
соответствии с пра­вилами трансляции
нечетких связок и модификаторов «и»,
«или», «не», «очень», «слегка» и других
операций над нечеткими множествами
вида: А⋂В, A∪В, ̅A,CONА = A2, DILА = А0,5и
т. п.

132.

Наряду с рассмотренными выше
базовыми значения­ми лингвистической
переменной «Толщина» (Т = {«Малая
толщина», «Средняя толщина», «Большая
толщина»}) возможны значения, завися­
щие от области определения X. В данном
случае значения лингвистиче­ской
переменной «Толщина изделия» могут
быть определены как «около 20 мм»,
«около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде
нечетких чисел.

133.

Терм-множество и расширенное терммножество в условиях примера можно
характеризовать функциями
принадлежности, при­веденными на
рисунке на следующих слайдах

134.

Функции принадлежности нечетких множеств:
«Малая толщина» = А1, «Средняя толщина»
= А2, «Большая толщина» = А3

135.

Функция принадлежности нечеткого
множества «Малая или средняя
толщина» = A1∪ А2

136.

1. Фаззификация
2. Расчет нечеткого выхода по базе
нечетких правил
3. Дефаззификация
Эти три оператора зависит от выбранного
алгоритма (Larsen, Mamdani, )
Go to слайд 151

137.

Операции над нечеткими числами.
Расширенные бинарные арифметические
операции (сложение, умножение и др.) для
нечетких чисел определяются через
соответствующие операции для четких
чисел с использованием принципа
обобщения следующим образом.

138.

139.

Решение – применение чисел L-R типа