Лекция_7_ТВ_2

1.

Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 7
7.1. Элементы комбинаторики.
Простейшие теоремы теории вероятностей.
7.2. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.

2.

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы
подсчета вариантов перестановок, комбинаций объектов
различного рода, выбора объектов из заданного множества.
Далее будем считать заданным некоторое множество из n
объектов (цифр, букв, людей, предметов и т.д.)
Выборка – это объекты, которые по определенному правилу
выбираются из заданного множества объектов.

3.

Выборка бывает:
Упорядоченная (множество цифр, пронумерованные
предметы, разноцветные сигналы и т.д.)
Неупорядоченная
(детали,
идентичные предметы и т.д.)
столы,
стулья,

4.

Правило суммы:
если объект А можно выбрать n способами, а объект
B можно выбрать m способами, то объект А или В
можно выбрать m+n способами.
Пример 1
В коробке лежат 5 красных, 2 синих, 1 черный и 2
белых шара. Сколькими способами из коробки
можно вытащить один цветной шар? (цветной шар
это не белый и не черный).
Решение
Красный шар можно вытащить пятью способами, а
синий двумя. Так как цветной шар по условию
задачи это шар красного или синего цветов, то
получаем 5+2=7 способов.

5.

Правило произведения:
если объект А можно выбрать n способами, а объект B
можно выбрать m способами, то объект
А и В можно выбрать m n способами.
Пример 2
В буфете имеется 5 чашек и 4 блюдца. Сколькими
способами можно составить чайную пару?
Решение
Чайная пара – это чашка и блюдце. Чашку можно выбрать
пятью способами, блюдце четырьмя. Так как чайная пара –
это чашка и блюдце (говорим и), то способов 5·4=20.

6.

7.

8.

9.

Пример 3
В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти
вероятность того, что среди шести взятых наудачу
деталей 4 стандартных.
Решение:
A — событие, заключающееся в том, что из 6
извлеченных 4 стандартных детали.
C74 C32 1
P( A)
6
2
C10

10.

Теорема сложения
Вероятность суммы двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий:
Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ).
Следствие.
Вероятность суммы нескольких
попарно несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий:
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 )... P( An )

11.

Пример 4
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти
вероятность появления цветного шара.
Решение:
А - появление красного шара;
В - появление синего шара.
10 1
P( A)
30 3
5 1
P( B)
30 6
События А и В несовместны
1 1 1
P( A B) P( A) P( B)
3 6 2

12.

Полная группа событий
Теорема.
Сумма вероятностей событий A1 , A2 ,..., An ,
образующих полную группу несовместных событий, равна
единице:
P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ) 1
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий
равна единице:
P( A) P( A ) 1.
P A p P A q
p q 1

13.

Вероятность появления хотя бы одного события в n
испытаниях
Пусть в n независимых испытаниях события A1 , A2 ,..., An ,
появляются с вероятностями
p1 , p2 ,..., pn
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A2 ,..., An ,
независимых в совокупности равна
P( A) 1 q1 q 2 ...q n

14.

Произведение событий

15.

Пример 5

16.

17.

18.

Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления
одного из несовместных событий B1 , B2 ,..., Bn ,
которые образуют полную группу. Пусть известны
вероятности этих событий и условные вероятности
PB ( A), PB ( A),..., PB ( A)
1
2
n

19.

Задание.
Среди 100 лотерейных билетов 5 выигрышных. Найдите
вероятность того, что 2 наудачу купленных билета будут
выигрышными.