01_Пределы функции_14 (1)

1.

Предел функции
1

2.

Теоремы о пределах
2

3.

Предел функции
Применяя теоремы о пределах, получим:
3

4.

Предел функции
1. Пределы числителя и знаменателя существуют
2. Предел знаменателя не равен нулю
Здесь пользуемся теоремой о пределе частного (формула 5)
4

5.

Предел функции
5

6.

Предел функции
1. Предел знаменателя равен 0
2. Применять теорему о пределе частного нельзя.
3. Знаменатель есть бесконечно малая величина при х→3,
4. По теореме 2 обратная величина
есть бесконечно большая
6

7.

Предел функции
Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и
знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае говорят о
неопределенности вида ∞/∞.
Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на х3, а затем
перейдем к пределу:
7

8.

1. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя
равен 0, и предел числителя здесь также равен 0.
2. В этом случае говорят о неопределенности вида 0/0
3. 0/0 - символическая запись отношения двух бесконечно малых величин) и
вычисление предела сводится к раскрытию этой неопределенности.
4. Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель
дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, то есть перенесем
иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и
перейдем к пределу
Здесь сокращение на х допустимо, так как условие х→0 предполагает,
что х ≠ 0 .
8

9.

Непосредственная подстановка значения х=4 в заданную функцию приводит к
неопределенности вида 0/0 .
Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на произведение
и затем сократим дробь на множитель (4–х), полагая х≠4:
9

10.

1. Имеем неопределенность вида 0/0
2. Раскроем ее, используя первый замечательный предел (теорема 5).
10

11.

Непосредственная подстановка дает неопределенность ∞ −∞.
Преобразуем ее к виду 1∞ , используя свойства логарифмов и выделяя
в получившейся дроби единицу:
Здесь удобно использовать свойство о допустимости взаимной перестановки
предела и логарифма, и тогда переходя от переменной х к α, получим:
11

12.

Левосторонний и правосторонний
пределы
Часто при исследовании функции в точке требуется находить предел в
предположении, что х приближается к хо, оставаясь больше него, т.е.
справа (такой предел называют правосторонним и обозначают
либо когда х приближается к хо слева
Такие пределы называют односторонними пределами, и только в случае их
взаимного равенства в исследуемой точке хо говорят, что функция имеет предел в
этой точке.
Нахождение одностороннего предела производится по обычным правилам
нахождения пределов, но с учетом того факта, что x > x0 для правосторонних
пределов, и x < x0 для левосторонних.
12

13.

Решить пример
13

14.

14