Лекция Вычисление определителей

1.

Вычисление определителя с помощью
правила диагоналей
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
- -
-+ + +
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1 – (6•1•1+ 0•(-4)•5+ 3•(-2)•(-3)) = =
–15+48 – (6+18) = 33–24=9.

2.

Разложение определителя по элементам строки
или столбца.
• Минором
элемента
det D называется
такой новый определитель, который получается
из данного вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца содержащих данный элемент.

3.

a11 a12
det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
M12
a21 a23
M 23
a11
a31 a33
a12
a31 a32

4.

• Алгебраическим
дополнением
Aij
элемента aij det D называется минор Mij
этого элемента, взятый со знаком 1 i j
т.е.
Aij 1
i j
M ij

5.

Aij 1
i j
a11 a12
det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
A12 1
1 2
M 12 1
A22 1
2 2
M 22
M ij
a21 a23
a31
a33
a11
a13
a31 a33

6.

Теорема:
• Сумма произведений элементов любой строки
(или столбца) определителя на их алгебраические
дополнения равна этому определителю.

7.

Разложить
элементам:
столбца.
данный определитель по
1) 3-ей строки;
2) 1-го
1 2
3
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4
2
4
2

8.

1) Разложим данный определитель по
элементам 3-ей строки:
det D a31 A31 a32 A32 a33 A33 a34 A34
a31 1 M 31 a32 1 M 32
4
5
a33 1 M 33 a34 1 M 34
6
7

9.

2
3 4
1 3 4
4
5
3 1 1 5 2 2 1 0 5 2
1 3 2
1 3 2
1 2 4
1 2
3
6
7
1 1 0 1 2 4 1 0 1 5
1 1 2
1 1 3
3 36 2 2 4 4 11 56

10.

2) Разложим данный определитель по
элементам 1-го столбца:
det D a11 A11 a21 A21 a31 A31 a41 A41
a11 1 M 11 a21 1 M 21
2
3
a31 1 M 31 a41 1 M 41
4
5

11.

1 5 2
2 3 4
2
3
1 1 2 1 4 0 1 2 1 4
1 3 2
1 3 2
2
3 4
2 3 4
4
5
3 1 1 5 2 1 1 1 5 2
1 3 2
2 1 4
20 0 3 36 32 56