4 Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

1.

Надежность систем
электроснабжения

2.

Надежность невосстанавливаемых
резервированных систем
2

3. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Способы резервирования
3

4. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Схема с общим нагруженным резервированием
(количество резервных цепей 0≤j≤m)
4

5. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Анализ выполним при следующих допущениях:
1) отказы элементов являются случайными и независимыми
событиями;
2) переключающие устройства идеальны (их надежность
Р(t) = 1, а основная и резервные цепи равнонадежны);
3) ремонт резервированной системы исключен.
Исходя из принятых допущений, используя формулу для
основной и резервных цепей определим вероятность безотказной
работы
n
n
n
i
1
i
1
i
1
(1)
P
t
P
t
P
t
P
t
0
0
i
ji
mi
Где - вероятность безотказной работы i-го элемента основной "0"
цепи; - вероятность безотказной работы i-го элемента j-й
5

6. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Поскольку все одноименные элементы в каждой цепи имеют
одинаковые параметры и находятся в одинаковых условиях,
то для всех цепей:
(2)
P
t
P
t
P
t
P
t
0
1
j
m
Вероятность отказов анализируемых цепей соответственно
запишется:
Q
t
1
P
t
1
P
t
1
P
t
(3)
o
0
j
m
Математически состояние отказа системы запишется так:
m
1
Q
t
Q
t
(4)
0
j
1
где Qo(t) - вероятность отказа основной цепи
6

7. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Поскольку все цепи идентичны и находятся в одинаковых
условиях, то
Q
t
Q
t
Q
t
Q
t
0
1
j
m
и тогда вероятность отказа системы
Q
t
Q
t
m
1
(5)
0
Воспользовавшись выражением (6.3), запишем
Q
t
1
P
t
m
1
0
m
1
Q
t
1
P
t
0
i
1
i
n
(6)
(7)
7

8. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Резервированная система может находиться в одном из двух
несовместимых состояний – работоспособном и отказа.
Следовательно, математически это выглядит так:
Р(t) + Q(t) = 1.
В результате получаем, что вероятность безотказной работы
системы с количеством цепей m + 1 равна
P t 1 1 P0i t
i 1
n
m 1
(8)
В случае, когда λi= const, в каждой из цепей (поток отказов
простейший) выражение
*
t
t
0
i
0
P
t
e
e
0
i
n
n
i
1
i
1
8

9. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Где
n
n
n
0
0
i
i
1
i
1
i
1
(9)
ji
mi
Тогда вместо выражения (8) запишем
1
tm
0
P
t
1
1
e
Где
цепи.
(10)
t
0
e
P
t - вероятность безотказной работы основной
0
Средняя наработка до отказа резервированной системы
m
1
t
0
T
P
t
dt
1
1
e
d
0
0
После некоторых преобразований получим
m
m
1
1
1
T
T
*
; T
(11)
0
j
1
j
1
9
j
0
j
1
0

10. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
Интенсивность отказов системы, как известно, определяется по
выражению
1
t
*
P
t
P
t
Для более наглядного представления выигрыша в надежности
при использовании общего нагруженного резервирования с
целой кратностью построим график зависимости
(12)
P
t
f
P
t
,
m
0
10

11. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью
11

12. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы с нагруженным дублированием
12

13. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы с нагруженным дублированием
Вероятность безотказной работы системы по формуле (10)
P
t
1
1
P
t
0
2
(13)
где Ро(t) - вероятность безотказной работы основной цепи.
Среднюю наработку до отказа системы определим по
выражению (11):
1
T
T
1
1
.
5
T
0
0
1
1
Определим зависимость интенсивности отказов системы от
времени:
1
t
*
P
t
(14)
P
t
13

14. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы с нагруженным дублированием
Подставим в выражение (14) исходное выражение (13) и его
производную. После некоторых упрощений получим:
1
e
e
t
2
1
1
e
0
t
0
0
t
t2
(15)
0
Для построения графика λ(t) определим предельные значения
этой функции:
t 0 0
lim
t
0
t
14

15. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы с нагруженным дублированием
Зависимость вероятностей безотказной работы основной цепи
P0(t) и системы из двух элементов P(t) от λ0t
15

16. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
const
;
con
;
co
01
11
0
i1
i
0
n
1
n
n
n
Учитывая, что
анализируемая
;
;
0
0
i
1
1
i
0
1
i
1
i
1
система (схема) приобретает вид, изображенный на
следующем рисунке.
16

17. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
17

18. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
Возможные гипотезы, которые могут произойти с системой на
отрезке времени t:
1. Основная цепь отработала успешно все время t и резервную
цепь (1) включать не потребовалось. Вероятность этого
режима работы системы - Ро(t).
2. Основная цепь отработала только отрезок t и отказала. При
этом сразу же включилась резервная цепь и успешно
проработала до конца времени t с вероятностью безотказной
работы Р1(t - t ).
18

19. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
График функции λ(t) системы дублированной замещением
(нагруженное дублирование)
19

20. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
Вероятность безотказной работы анализируемой системы в
течение времени t определяется по выражению:
P
t
P
t
P
t
,
0
1
0
t
Где
(16)
P
t
,
P
t
*
f
dt
1
0
1
0
0
Таким образом, вероятности безотказной работы системы
t
(17)
P
t
P
t
P
t
*
f
d
0
1
0
0
Зная, что
t
t
0
0
0
P
t
e
;
P
t
e
;
f
P
e
1
0
0
0
0
20

21. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
получим
P
t
1
t
e
t
0
0
(18)
1
T
P
t
dt
2
2
T
0
(19)
0
0
интенсивность отказов системы:
1
t
*
P
t
P
t
Используя выражение (6.18) преобразовывая, получим
t
t
1
t
0
(20)
0
0
21

22. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
22

23. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
При схеме нагруженного дублирования потеря мощности в
кабелях составит
1
2
P
I
2
*
R
*
2
I
*
R
2
2
Если возникнет необходимость оценки надежности системы,
включенной по схеме общего резервирования замещением с
целой кратностью, при m > 1, то следует пользоваться
расчетными формулами:
t
0
*
t
0
m
j
P
t
e
!
j
0 j
1
T
m
1
T
m
1
0
0
23

24. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
24

25. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Общее резервирование замещением
Предположим система имеет три резервных цепи (m = 3),
λ0=10-41/ч. Тогда для t = 1000 часам
0
1
2
3
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
P
t
e
m
3
0
!
1
!
2
!
3
!
1
T
3
1
4
T
m
3
0
0
4
3
4
3 2
4
3 3
10
*
10
10
*
10
10
*
10
e10 *10 1
Pm 3 1000
1
2
6
0.1 0.1 2 0.1 3
0.1
e 1
*1.10517
0.999955
0.9048
2
6
1
4
3
4
4
Итак, P
1
0
.
9
;
T
1
1000
0
.
999
;
T
4
*
1
ч, P
0
0
m
3
m
3
1
0
25

26. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы при раздельном резервировании и с
целой кратностью по всем элементам
Вероятность безотказной работы системы выражается формулой
n
(21)
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
бл
.
1
бл
.
k
бл
.
n
бл
.
k
k
1
26

27. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы при раздельном резервировании и с
целой кратностью по всем элементам
Вероятностей безотказной работы блоков:
P
t
1
1
e
n
m
1
0
k k
(22)
k
1
Среднее время наработки до отказа:
T
t
dt
P
0
27

28. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Надежность системы при раздельном резервировании и с
целой кратностью по всем элементам
При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их
резервирования по всем блокам показатели надежности примут
вид:
n
m
1
t
(23)
0
P
t
1
1
e
Где
const
для всех элементов системы.
0
n
1
!
1
T
P
t
dt
(24)
m
1
y
y
1
y
n
1
j
0
0
j
j
j
0
m
Где
j
1
yj
m
1
28

29. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Смешанное резервирование неремонтируемых систем
29

30. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Смешанное резервирование неремонтируемых систем
Вероятность безотказной работы системы будет:
P
t
P
t
*
P
t
*
P
t
бл
1
бл
2
бл
3
Где
P
t
1
*
t
*
e
бл
2
4
*
t
4
*
t2
6
; P
t
1
1
e
бл
3
Блок 1 откажет, если совпадут отказы обоих цепей:
*
t
*
t
2
Л
2
П
Q
t
1
e
1
e
бл
1
30

31. Надежность невосстанавливаемых резервированных систем

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Смешанное резервирование неремонтируемых систем
Следовательно вероятность безотказной работы системы:
*
t
*
t
2
Л
2
П
P
t
1
Q
t
1
1
e
1
e
бл
1
бл
1
Таким образом,
P
t
1
1
e
1
e
1
*
t
*
e
*
1
1
e
2
*
t
*
t
*
t
*
t
2
Л
6
2
П
4
4
Средняя наработка до отказа
T
t
dt
P
0
31

32.

Надежность систем электроснабжения
Пример расчета:
Для пуска М замыкают QF, а
затем SB1. KM1 получает
питание, срабатывает и своими
контактами КМ2 подключает М к
источнику питания, а
вспомогательным контактом
шунтирует SB1. Для отключения
М служит SB2.
В защите М используются FA и тепловое реле KK1 с КК2. Двигатель
работает в закрытом помещении при T=50 C в длительном режиме.
Для расчета применим коэффициентный метод, используя
коэффициенты надежности компонент схемы.
Принимаем интенсивность отказов базового элемента b=3*10-8.
32

33.

Надежность систем электроснабжения
Пример расчета:
На основании принципиальной схемы и ее анализа, составим
основную схему для расчета надежности.
В расчетную схему включены компоненты, отказ которых приводит
к полному отказу устройства.
Исходные данные сведем в таблицу.
33

34.

Надежность систем электроснабжения
Пример расчета:
Таблица исходных данных .
Базовый элемент, 1/ч
б
3*10-8
Коэф. условий эксплуатации
ku
2,5
Интенсивность отказов
Время работы, ч
б’
t
б* ku=7,5*10-8
5000
Элемент принципиальной схемы
QF
Элемент расчетной схемы
Число элементов
Коэф. надежности
Коэф. нагрузки
KK2 KM1 SB1 SB2 KM2
KK1
M
Ni
ki
Kn
Э1 Э2
3
3
5
25
0,6 0,6
Э3
1
10
0,6
Э4 Э5 Э6
1
1
1
25
5
5
0,6 0,6 0,8
Э7
3
20
0,6
Э8
3
18
0,6
Э9
1
250
0,85
Коэф. электрической нагрузки
a1
1
1
1
1
1
1
1
1
3,5
Коэф. температуры
a2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Коэф. нагрузки по мощности
a3
1
1
1
1
1
0,8
Коэф. использования
a4
4,4 4,2
4,2 0,3
4,4
4,2
4,4
Произведение коэф. a
*a
4,4 2,2 0,52 0,52 4,2 0,3
4,4
4,2
12,32
21 1,5 88
75,6
21 1,5 264 226,8
3783,9
1/[ б’* (Ni*ki’)]=3523,7
е[- б’*To* (Ni*ki’)]=0,24
3080
3080
Коэф. надежности
0,52 0,52 0,52
ki’ 2,2 55
Ni*ki’ 6,6 165
(Ni*ki’)
Наработка до отказа, ч
Вероятность
FA
To
p(t)
1
5,2
5,2
1
13
13
34

35.

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Частные случаи расчета надежности
Объект состоит из n блоков, соединенных последовательно .
Вероятность безотказной работы каждого блока p.
Найти вероятность безотказной работы P системы в целом.
Решение:
P=pn
35

36.

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Частные случаи расчета надежности
Объект состоит из n блоков, соединенных параллельно.
Вероятность безотказной работы каждого блока p.
Найти вероятность безотказной работы P системы в целом
Решение:
P=1-(1-p)2
36

37.

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Частные случаи расчета надежности
Объект состоит из n блоков, соединенных параллельно.
Вероятность безотказной работы каждого блока p.
Вероятность безотказной работы переключателя (П) p1.
Найти вероятность безотказной работы P системы в целом.
Решение:
P=1-(1-p)*(1-p1*p)
37

38.

Надежность систем электроснабжения
Надежность невосстанавливаемых резервированных систем
Частные случаи расчета надежности
Объект состоит из n блоков, с вероятность безотказной работы
каждого блока p.
С целью повышения надежности произведено дублирование, еще
такими же блоками.
Найти вероятность безотказной работы системы:
с дублированием каждого блока Pa,
с дублированием всей системы Pb.
Решение:
Pa=[1-(1-p)2]n Pb=[1-(1-p)n]2
38