Dispersia_i_standartnoe_otklonenie

1. Дисперсия и стандартное отклонение

2. Задание 1

3. Дисперсия

Обычно найти математическое ожидание случайной величины
недостаточно, чтобы понять, какие ее значения следует считать вполне
вероятными, а какие — маловероятными. Важно понять, каким может быть
отклонение значений от среднего.
Это значит, что поведение случайной величины не определяется ее
математическим ожиданием. Одно и то же математическое ожидание может
быть у двух совсем разных случайных величин.

4.

Пример 1
Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет
метко и попадает близко к центру, а другой просто развлекается и даже не
целится. Но его средний результат будет точно таким же, как и у
первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие
случайные величины:
Значение
величины Х
-2
2
Значение
величины Y
- 10
10
Вероятность
0,5
0,5
Вероятность
0,5
0,5
Вычислим математическое ожидание первого стрелка:
M(X) = –2 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,5 = 0.
Вычислим математическое ожидание второго стрелка:
M(Y) = –10 ⋅ 0,5 + 10 ⋅ 0,5 = 0.
Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько
далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно
центра мишени (математического ожидания).
Нужна числовая характеристика для рассеивания или разброса ее
значений.

5.

Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в
наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов
отклонений. Эту величину называют дисперсией.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от
ее математического ожидания:
Дисперсия показывает, насколько в среднем значения
сосредоточены, сгруппированы около M(X): если дисперсия маленькая —
значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг
от друга.
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием
квадрата случайной величины X и квадратом ее математического
ожидания:

6. Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат: D(CX) =C2D(X).
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна
сумме дисперсий этих величин: D(X+Y) =D(X) +D(Y). Это свойство
справедливо для произвольного числа независимых случайных
величин. Также D(C+X) =D(X).
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий: D(X−Y) =D(X) +D(Y).

7. Стандартное отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины
вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие
характеристики. К их числу относится среднее квадратическое
отклонение.
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением)
случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии:

8.

На самом базовом уровне стандартное отклонение говорит нам,
насколько разбросаны значения данных в наборе данных. Чтобы
проиллюстрировать это, рассмотрим следующие три набора данных
вместе с соответствующими стандартными отклонениями:
[5, 5, 5] стандартное отклонение = 0 (совсем нет разброса);
[3, 5, 7] стандартное отклонение = 1,63 (некоторый разброс);
[1, 5, 99] стандартное отклонение = 45,28 (большой разброс).
Стандартное отклонение говорит нам о среднем расстоянии, на
котором значение находится от среднего, а дисперсия говорит нам о
квадрате этого значения.

9.

Пример 2
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Найдите стандартное отклонение.

10.

Задание 3

11.

Задание 4
Дана случайная величина, X и Y — независимые случайные
величины, известны D(X), D(Y).
1) Z= 5X– 2Y+ 3; D(X) = 4;D(Y) = 11.
D(Z) — ?
σ—?
2) D(X) = 0,4.
D(–2X+ 3) — ?
3) D(X) = 7; D(Y) = 4.
D(2X+ 3Y) — ?
σ—?
4) M(X) = 8; M(Y) = 7; D(X) = 9; D(Y) = 6;
Z = 9X – 8Y + 7
M(Z) — ?
D(Z) — ?