Вычисл_математика_лекция_1

1.

Введение в вычислительную
математику.
Решение нелинейных уравнений

2.

Область математики, изучающая методы
доведения математических задач до числового
результата
и
методы
использования
вычислительных средств.

3.

Вычислительная математика разрабатывает методы
доведения до числового результата решений основных
задач математического анализа, алгебры и геометрии.
Численный
метод
решения
задачи
–
определённая последовательность операций
числами (вычислительный алгоритм).
Языком численного метода
арифметические действия.
являются
это
над
числа
и

4.

Разработаны эффективные и надежные алгоритмы приближенного
решения широкого круга математических задач, включающие
стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и
дифференциальных уравнений.
В настоящее время имеется целый ряд различных математических
пакетов, реализующих разнообразные численные методы.
Пожалуй, наиболее известными сегодня являются следующие
пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма
Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), Mathcad
(фирма MathSoft Inc), а также свободно распространяемые SciLab и
R-system.

5.

Решение прикладных задач с использованием ЭВМ можно разбить на
несколько этапов:
- Физическая постановка задачи осуществляется на первом этапе и
намечается путь ее решения.
Математическое
моделирование.
На
этом
этапе
выбирается
математическая модель, адекватно описывающая основные законы
физического процесса.
- Выбор численного метода. Для решения задачи необходимо найти
численный метод, позволяющий свести ее к вычислительному алгоритму.
- Разработка алгоритма решения задачи. Алгоритм можно представить в
виде блок-схемы или стилизованной диаграммы.
- Составление и отладка программы. Программа, реализующая алгоритм
решения задачи, записывается на языке программирования высокого уровня
и тестируется.
- Анализ результатов счета. Полученные с помощью ЭВМ результаты
анализируются, сравниваются с экспериментальными данными.
- Внедрение полученных результатов.

6.

Проведение численных расчетов на компьютере неизбежно
связано с погрешностью округления, иначе говоря, с
вычислительной погрешностью.
Округления возникают в силу ограниченности разрядной сетки
компьютера при представлении в нем вещественных чисел.
Округления в ЭВМ производятся путем отбрасывания цифр, не
помещающихся в разрядную сетку.
Следует отметить, что встречаются задачи, которые очень
чувствительны
к
погрешностям
исходных
данных.
Эта
чувствительность может быть охарактеризована понятием
устойчивости, которое входит как составная часть в понятие
корректности. Численные методы нецелесообразно применять к
некорректно поставленным задачам. Эти задачи требуют особого
рассмотрения, и для их решения разрабатываются свои методы.

7.

Определение Задача называется поставленной корректно, если
для любых значений входных данных из некоторого класса
выполняются следующие условия:
1) решение задачи существует и единственно в рассматриваемом
классе решений;
2) решение устойчиво относительно входных данных, т.е. малые
изменения во входных данных приводят к малому изменению
решения.
Если нарушается одно из условий или сразу оба, то задача
называется некорректно поставленной.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Метод Ньютона (касательных)
Это итерационный метод, изобретённый Исааком Ньютоном (Isaak Newton) около 1664 г.
Впрочем, иногда этот метод называют методом Ньютона-Рафсона (Raphson), поскольку Рафсон
изобрёл тот же самый алгоритм на несколько лет позже Ньютона, однако его статья была
опубликована намного раньше.
Задача заключается в следующем. Дано уравнение: f(x) = 0.
Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень
существует). Предполагается, что f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b].

15.

Алгоритм
Входным параметром алгоритма, кроме функции f(x), является также
начальное приближение — некоторое , от которого алгоритм начинает идти.
Пусть уже вычислено , вычислим
следующим образом. Проведём
касательную к графику функции f(x) в точке
, и найдём точку пересечения
этой касательной с осью абсцисс.
положим равным найденной точке, и
повторим весь процесс с начала.
Нетрудно получить следующую формулу:
Интуитивно ясно, что если функция f(x) достаточно "хорошая" (гладкая), а
находится достаточно близко от корня, то
будет находиться ещё ближе к
искомому корню.
Скорость сходимости является квадратичной, что, условно говоря, означает,
что число точных разрядов в приближенном значении удваивается с каждой
итерацией.