Определение
Трудности реализации численных методов
Численный метод решения задачи
Пример реализации численного метода
Пример реализации численного метода
Пример реализации численного метода
Пример реализации численного метода
Пример реализации численного метода
Пример реализации численного метода
Свойства численных методов
Классификация погрешностей
Классификация погрешностей
Классификация погрешностей
Классификация погрешностей
Классификация погрешностей
1.91M
Category: mathematicsmathematics

Вычислительная математика. Введение. Основные понятия и определения

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет
имени М. Т. Калашникова»
Кафедра «АСОИУ»
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение. Основные понятия и
определения»
Автор Исенбаева Е.Н., старший преподаватель
Ижевск
2013

2. Определение

Вычислительная математика –
раздел математики, изучающий круг
вопросов, связанных с применением
вычислительной техники и численных
методов при решении практических
задач.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
2

3. Трудности реализации численных методов

1)
Достаточно большая размерность n →число операций
достигает такой огромной величины, что выполнение
всех этих операций становится невозможным даже на
самых мощных ЭВМ.
Для решения СЛАУ из n уравнений
методом Крамера требуется выполнить порядка n*n!
операций,
методом Гаусса требуется выполнить порядка n^3
операций.
2)
Большое число операций → от каждой операции
накапливается вычислительная погрешность →
результат слишком далек от истинного решения.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
3

4. Численный метод решения задачи

Численный метод решения задачи – это
определенная последовательность
операций над числами, то есть
вычислительный алгоритм, язык которого –
числа и арифметические действия.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
4

5. Пример реализации численного метода

Требуется найти решение уравнения
x^2 – a = 0, a > 0,
(1)
Зададимся каким–либо начальным
приближением x0 (например, х0=1) и будем
последовательно с помощью формулы:
(2)
вычислять значения х1, х2, …Прервем этот
процесс на некотором n = N и полученное в
результате xN объявим приближенным
решением исходной задачи (1), то есть
положим
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
5

6. Пример реализации численного метода

Докажем, что наш алгоритм (2)
удовлетворяет этому условию.
Положим
(3)
Разделим равенство (2) на
и
подставим в него (3), получим
откуда
(4)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
6

7. Пример реализации численного метода

Так как
>0, то из
последнего равенства
следует, что все Ɛ , начиная с
первого, положительны.
А значит,
<1.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
7

8. Пример реализации численного метода

Используя это, получаем из (4):
<
(5)
то есть убывает с ростом n быстрее,
чем геометрическая прогрессия со
знаменателем . Следовательно, xN

при n → ∞
(6)
На рисунке показан итерационный
процесс (2).
Здесь даны графики левой yл(х) и
правой yп(х) частей (2).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
8

9. Пример реализации численного метода

Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
9

10. Пример реализации численного метода

Так как yл(√а )=yп(√а ), то эти
графики пересекаются в точке х =
√а .
Проведение итераций по формуле
(2) эквивалентно движению по
изображенной на рисунке
ломаной линии→
итерационный процесс сходится к
√а при N → ∞.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
10

11. Свойства численных методов

1. Исходная задача (1) заменяется
другой задачей – вычислительным
алгоритмом (2).
2. Задача (2) содержит параметр N,
которого нет в исходной задаче.
3. Выбором этого параметра N можно
добиться любой близости решения (2) к
решению (1), то есть хN к √а .
4. Неточная реализация алгоритма,
вызванная округлениями, не меняет его
свойств.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
11

12. Классификация погрешностей

1. Погрешности задачи –
погрешности, связанные с самой
постановкой задачи.
Математические формулировки
неточно отображают реальные
явления→ получаем
идеализированные модели.
Эти погрешности неустранимы.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
12

13. Классификация погрешностей

2. Погрешность метода.
Решить задачу в точной
постановке трудно→ ее заменяют
близкой по результатам
приближенной задачей.
Это устранимые погрешности.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
13

14. Классификация погрешностей

3.Остаточная погрешность –
погрешность, связанная с наличием
бесконечных процессов в математическом
анализе.
Функции, фигурирующие в математических
формулах, часто задаются в виде
бесконечных последовательностей или
рядов.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
14

15. Классификация погрешностей

4. Погрешность действий.
Производя вычисление над
приближенными числами,
погрешности входных данных мы
переносим в результат вычислений.
Это неустранимые погрешности.
В дальнейшем мы будем учитывать
погрешности типа 2), 5).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
15

16. Классификация погрешностей

5. Погрешность округления –
погрешность, связанная с системой
исчисления.
При изображении даже рациональных
чисел в 10 системе исчисления
справа от запятой может быть
бесконечное число цифр (например,
бесконечная десятичная
периодическая дробь).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Введение»
16

17.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
© ФГБОУ ВПО ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, 2013
© Исенбаева Елена Насимьяновна, 2013
English     Русский Rules