Тема 1. Основные понятия ТВ

1. Тема 1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей

DIPLOMAT UNIVERSITY
PhD по экономическим наукам, доцент
Хазраткулова Лола Нармуминовна
Тема 1. Предмет теории вероятностей.
Основные понятия теории вероятностей
Ташкент 2024

2. Основные понятия теории вероятностей

Эксперимент
(опыт)
Исход
Событие
Осуществление некоторого
комплекса условий
(или действие, результат
которого заранее неизвестен)
Возможный результат
эксперимента (Всякий факт,
который в результате опыта
может произойти или не
произойти)
Один или несколько исходов
эксперимента

3.

Основным
понятием
теории
вероятностей является понятие случайного
события. Случайным событием называется
событие, которое при осуществлении
некоторых условий может произойти или не
произойти.
Например, попадание в некоторый
объект или промах при стрельбе по этому
объекту из данного орудия является
случайным событием.
События
обозначаются
обычно
большими латинскими буквами A, B, D, F...

4.

Событие
называется
достоверным, если в результате
испытания
оно
обязательно
происходит.
Невозможным
называется
событие, которое в результате
испытания произойти не может.

5.

Случайные события называются
несовместными в данном испытании,
если никакие два из них не могут
появиться вместе.
Случайные события образуют
полную группу, если при каждом
испытании может появиться любое из
них и не может появиться какое-либо
иное событие, несовместное с ними.

6.

Рассмотрим
полную
группу
равновозможных
несовместных
случайных событий. Такие события будем
называть исходами.
Исход
называется
благоприятствующим
появлению
события А, если появление этого события
влечет за собой появление события А.

7.

Задача 1. В урне находится 8
пронумерованных шаров (на каждом шаре
поставлено по одной цифре от 1 до 8).
Шары с цифрами 1, 2, 3 красные,
остальные – черные. Появление шара с
цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3)
есть
событие,
благоприятствующее
появлению красного шара. Появление шара
с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть
событие, благоприятствующее появлению
черного шара.

8.

Вероятностью события A
называют отношение числа m
благоприятствующих этому событию
исходов к общему числу n всех
равновозможных
несовместных
элементарных исходов, образующих
полную группу

9.

Задача 2. Эксперимент: подбрасывание 2 игральных
костей. Найдите вероятности событий
А – сумма выпавших очков равна 4;
В - сумма выпавших очков равна 7;
С - сумма выпавших очков равна 9;
D - сумма выпавших очков равна 13.
Решение:
P(A) = 3/36=1/12; P(B) = 6/36=1/6; P(C ) = 4/36 = 1/9;
P(D)=0/36=0
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6

10.

Свойство
1.
Вероятность
достоверного события равна единице.
Свойство
2.
Вероятность
невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного
события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.

11.

Задача 2. В урне 10 шаров: 6 белых и 4
черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что
. оба шара белые?
Решение: Вынуть два шара из десяти можно
следующим числом способов:
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут
два белых, равно
Искомая вероятность

12.

Задача 3. В урне 15 шаров: 5 белых
и 10 черных. Какова вероятность вынуть
из урны синий шар?
Решение: Так как синих шаров в
урне нет, то m=0, n=15. Следовательно,
искомая вероятность р=0. Событие,
заключающееся в вынимании синего
шара, невозможное.

13.

Задача 4. Из колоды в 36 карт
вынимается одна карта. Какова вероятность
появления карты червовой масти?
Решение: Количество элементарных
исходов (количество карт) n=36. Событие А =
(Появление карты червовой масти). Число
случаев, благоприятствующих появлению
события А, m=9. Следовательно,

14.

Взаимосвязь событий
Совместные
события
Несовместные
события
Зависимые
события
События А и В совместны, если
появление одного из них не
исключает появление другого.
Несколько событий совместны, если
совместны хотя бы 2 из них
События А и В несовместны, если
появление одного из них исключает
появление другого.
Несколько событий несовместны,
если они попарно несовместны
События А и В зависимы, если
появление события В зависит от
появления события А.

15.

Взаимосвязь событий
Полная группа событий несколько событий таких, что в результате
эксперимента непременно должно произойти
хотя бы одно из них.
Противоположные события - 2 несовместных события , образующих полную группу
событий. Обозначение - А

16.

Задача 5: эксперимент - бросание игральной кости
События:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
B - выпадение четного числа очков (B=A2+A4+A6)
C - выпадение более 7 очков (C – невозможное событие)
D - выпадение не более 3 очков (D=A1+A2+A3)
E - выпадение не более 6 очков (E – достоверное
событие).

17.

.
Операции над событиями
1. Объединение событий.
Событие C называется суммой, или объединением, событий A
и B, если оно происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из
событий A или B, и обозначается
С=A+В
2. Произведение событий.
Произведением событий A и B называется такое событие D,
которое происходит тогда, когда происходят событие A и событие B,
и обозначается
D=A * B

18. Статистическое определение вероятности

Если опыт воспроизведен n раз, а событие
А
произошло
m
раз,
то
частотой
(относительной частотой) события А назовем
m
*
Р (А)= n
т.е. отношение числа испытаний, в которых
появилось событие А, к числу всех испытаний.
Свойства частоты.
1) 0< Р*(А) < 1, так как 0< m< n, следовательно, .
2) Р*( )=1, так как m=n.
3) Р*( )=0, так как m=0.

19.

Частота
случайного
события
обладает свойством устойчивости, т.е.
при увеличении числа опытов значения
частоты события группируются около
некоторого числа, характеризующего
возможность появления данного события
в данном опыте.
Таким образом, мы приходим к
понятию вероятности события в данном
опыте.

20. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить
себе как бросание точки наудачу в некоторую
геометрическую область G (на прямой, плоскости или
пространстве). Элементарные исходы – это отдельные
точки G, любое событие – это подмножество этой
области, пространства элементарных исходов G.
Можно считать, что все точки G «равноправны» и
тогда вероятность попадания точки в некоторое
подмножество пропорционально его мере (длине,
площади, объему) и не зависит от его расположения и
формы.

21.

Геометрическая вероятность события
А определяется отношением:
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины,
площади или объемы) всего пространства
элементарных исходов и события А.

22.

Задача 6. На плоскость, разграфленную параллельными
полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями
которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r
Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение: В качестве элементарного исхода этого испытания
будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии
ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных
исходов – это отрезок
Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его
центр попадет в полосу, т.е.
или будет находиться от края полосы на расстоянии меньшем, чем
радиус, т.е.
Для искомой вероятности получаем:

23.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ