Кривые линии. Лекция 3

1.

Первое высшее техническое учебное заведение России
Санкт-Петербургский горный университет императрицы Екатерины II
Кривые линии
г. Санкт-Петербург
2023
1|33

2.

Кривые линии широко применяются в
архитектуре и строительстве. По кривым
линиям
очерчиваются
различные
пространственные формы – арки, своды,
купола и т.д.

3.

В начертательной геометрии приняты два
способа образования линии:
1.
Кинематический
−
линия
рассматривается как траектория
точки, непрерывно перемещающейся
в пространстве.
2. Линия образуется пересечением
двух поверхностей.

4.

Линии бывают плоские и пространственные.
Плоские линии – такие линии, все точки
которых лежат в одной плоскости (окружность,
эллипс, гипербола, парабола и т.п.).
Пространственные
(линии
двоякой
кривизны) – это линии, все точки которых не
лежат в одной плоскости (винтовая линия).

5.

Кривая линия называется плавной
(или гладкой), если она во всех своих
точках
имеет
одну
непрерывно
изменяющуюся касательную. Если при
этом не изменяется направление
перемещения касательной, то кривая
линия является выпуклой, а все её
точки регулярными (правильными,
обыкновенными).

6.

В зависимости от способа образования
кривые линии делятся на закономерные,
т.е. образованные по определённому закону
(винтовые линии), и незакономерные,
образование которых носит эмпирический
характер. Закономерные кривые линии могут
быть заданы графически (на чертеже) и
аналитически (при помощи уравнений),
незакономерные линии – только графически.

7.

В зависимости от вида уравнения,
описывающего закономерные кривые
линии, они могут быть алгебраическими,
если в прямоугольных координатах линия
определяется
алгебраическим
уравнением, и трансцендентными, если
она
задаётся
неалгебраическим
уравнением.

8.

Эволюта и эвольвента

9.

Эволютой называют кривую линию,
представляющую множество центров
кривизны некоторой другой кривой линии.
Сама кривая, в данном случае,
называется эвольвентой. Касательные к
эволюте
являются
нормалями
в
соответствующих точках эвольвенты.

10.

На рис. кривые а и b – эвольвенты.
Их эволюта – кривая с. Каждая из семейств
эвольвент (кривые a, b, ...) определяется
некоторой первоначальной длиной отрезка
касательной к эволюте (