7.10.24 Решение уравнений высших степеней

1.

2.

3.

Prezentacii.com
Вишняков А.Ю.
2008год

4.

В данной презентации достаточно полно
изложена теория решения различных видов
рациональных уравнений,
за исключением линейных и квадратных
уравнений, а также общей теории
решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
Нет здесь и примеров, решаемых
с помощью теоремы Безу.
Каждый вид уравнения сопровождается
решением соответствующего примера.
Данные материалы могут быть использованы
частично на уроках алгебры
в обычных классах,
но в большей мере пригодятся
для изучения этой темы
в классах с углубленным изучением
математики.

5.

Рациональные
уравнения
Целые
Дробные
Способ подстановки
возвратные
распадающиеся
биквадратные
(x + a)4 + (x + b)4 = c
симметричные
3-го и 4-го порядка
Однородное 2-го порядка
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
end

6.

Рациональные
уравнения
Целые
Дробные
P( x)
0
Q( x)
Сумма двух и более
дробей
а
P( x) Q( x)
b
c 0
Q( x) P( x)
px
qx
r ,(r 0)
2
2
ax bx c ax dx c
end

7. Способ подстановки

При решении некоторых целых рациональных
уравнений есть смысл ввести новую
переменную величину, обозначив некоторое
рациональное выражение новой буквой.
Например, в уравнении
a P 2 ( x) b P(х), c 0
где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую
переменную y=Р(х), решить полученное
2
ay
by c 0
квадратное уравнение
относительно y и, наконец, решить
Обратно
в меню
Пример
уравнение Р(х)= yо, где yо – корень
уравнения ay 2 by c 0

8. Пример

Решите уравнение ( х 2 5 х 7) 2 2( х 2 5 х 6) 1.
Решение. Введем новую переменную. Пусть
x 5x 7 y
2
Тогда получим уравнение
y 2( y 1) 1.
2
Находим корень у = 1 и делаем обратную
подстановку.
x 2,
x 5x 7 1 x 5x 6 0
x 3.
2
Обратно
в меню
2
Ответ: 2; 3.

9.

10. Распадающееся уравнение

Рациональное уравнение называется
распадающимся, если его можно привести к
виду P ( x) Q (х) 0 , где P ( x), Q (х) –
рациональные выражения с переменной х.
Для решения воспользуемся равносильным
переходом
P( x) 0,
P( x) Q(х) 0
Q(х) 0.
Применяемые приемы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
Обратно Пример
в меню
-формулы сокращенного умножения.

11. Пример

Решите уравнение
х 4 х 3 4 х 2 4 х 0.
Решение. Разложим левую часть уравнения
на множители:
( х х ) (4 х 4 х) 0, х ( х 1) 4 х( х 1) 0,
4
3
2
3
х( х 1)( х 2 4) 0, х( х 1)( х 2)( х 2) 0.
Воспользуемся равносильным переходом:
x 0,
x 0,
х 1 0,
х 1,
х 2 0,
х 2,
Обратно
в меню
х 2 0,
х 2. Ответ:-2;0;1;2.

12. Однородное уравнение 2-го порядка

аP ( x) bP( x)Q( x) cQ ( x) 0
2
2
При решении уравнения надо проверить две ситуации:
1)
P( x) 0, т.е. корнями заданного уравнения
Q(х) 0. являются решения этой системы.
2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на
Q2(x) получим уравнение P( x) 2
P( x)
а
b
c 0,
Q( x)
Q( x)
P( x)
t сводится
Q( x)
2
Обратно Пример
в меню
которое подстановкой
к квадратному уравнению аt bt c 0
В ответ включают числа, полученные
при рассмотрении обеих ситуаций.

13. Пример

Решить уравнение
(x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0.
Решение. Возможны две ситуации.
Рассмотрим первую:
x 0,
2
x 2 x 0,
x 2,
x 2.
2
x x 2 0, x 1,
x 2,
Обратно
в меню
Найден первый корень уравнения х=2.

14. Продолжение решения

Обратно
в меню
Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное
уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2.
Уравнение принимает вид
2
2
x 2x
x2 2x
2 0.
2
2
x x 2 x x 2
x2 2x
x
Обозначим t x 2 x 2 x 1 и решим квадратное
уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
Обратная подстановка дает уравнения
x
x
1,
2, откуда х = -0,5 и х = -2.
x 1
x 1
С учетом обеих ситуаций получаем
ответ: - 0,5; -2; 2.

15.

16. Биквадратное уравнение

Уравнение имеет вид
aх4+bх2+c=0.
Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2.
Получаем квадратное уравнение
at2+bt+c=0.
Обратно
в меню
Находим значения t и, сделав обратную подстановку,
находим корни исходного уравнения.
Замечание.
При решении биквадратного уравнения можно
получить от 1 до 4-х корней или же это
уравнение может совсем не иметь корней.
Пример

17. Пример

Решите уравнение х4–3х2–4=0.
Решение.
Обратно
в меню
Сделаем подстановку x2 = t. Получаем
квадратное уравнение
t2–3t–4=0,
корни которого t = -1 и t = 4.
Обратная замена дает два уравнения
x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое
уравнение не имеет корней, а корни
второго уравнения -2 и 2.
Ответ: -2; 2.

18. Симметричное уравнение 3-го порядка

Уравнение имеет вид
ах3+bх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые:
а(х3+1)+bх(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов
а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
и выполним разложение на множители
(х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
Получили распадающееся уравнение. Значит,
х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
Обратно Пример
исходного уравнения.
в меню

19. Пример

Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0.
Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой
паре вынесем общий множитель за скобки:
2(х3+1)–3х(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов и вынесем общий
множитель (х+1):
2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
(х+1)(2х2 –5х+2)=0.
Значит,
х+1=0 или 2х2 –5х+2=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
Обратно
исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
в меню
Ответ: -1; 0,5; 2.

20.

21. Симметричное уравнение 4-го порядка

Уравнение имеет вид
ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения
на х2. Получаем
1
2 1
a х 2 b х c 0
х
х
1
1
2
2
Сделаем подстановку х
,
тогда
t
х 2 t 2
х
х
Получаем квадратное уравнение
Обратно Пример
в меню
a(t2-2)+bt+c=0.
Находим значения t и делаем обратную подстановку.

22. Пример

Решите уравнение 2 x 4 3x 3 10 x 2 3x 2 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно
группируя, получим равносильное уравнение:
1
1
2 x 2 2 3 x 10 0.
x
x
1
1
2
х
t
Сделаем подстановку
, тогда х 2 t 2 2.
х
х
Обратно
в меню
Получаем квадратное уравнение 2t 2 3t 14 0 , корни
которого 2 и -3,5.
Обратная подстановка дает два рациональных
1
7
1
уравнения x 2 и x ,
x
2
x
откуда и находим корни исходного уравнения.
Ответ: 1; 7 33 .
4

23.

24. Возвратное уравнение

Уравнение вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
2
где a ≠ 0, b ≠ 0 и
e d ,
a b
называется возвратным уравнением
четвертого порядка.
Это уравнение сводится к квадратному с
Обратно Пример
помощью подстановки
d
в меню
t x
bx

25. Пример

Решить уравнение
x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0.
4 2
Решение. Заметим, что 1 1 и, следовательно, данное
уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и
получим равносильное уравнение
4
2
2
2
x
2
4
2
2
t
x
x
t
4,
Обозначим
, тогда
2
x
x
Обратно
в меню
x
2
x
x
6 0.
и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1.
Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0
получаем два квадратных уравнения
x2 + 2x - 2 = 0,
x2 - x - 2 = 0,
откуда и получим корни исходного уравнения.
Ответ: 1 3; 1; 2.

26. Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m

Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к
квадратному уравнению. Действительно,
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd =
= x2 + (a + b)x + cd
Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное
уравнение
(t + ab)(t + cd) = m
Из этого уравнения найдем значения t и,
сделав обратную подстановку, закончим
Обратно Пример
в меню
решение исходного уравнения.

27. Пример

Решить уравнение
(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя,
получим
[(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
или
(x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19.
Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18.
Уравнение примет вид
t(t + 18) = 19 или t2 + 18t - 19 = 0,
откуда t = -19 и t = 1.
Сделав обратную подстановку, получим
2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1.
x
Обратно
в меню
Окончательный ответ: 5 5 ; 5 85 .
2
2

28. Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c

Используя подстановку
t x
a b
, уравнение
2
можно свести к биквадратному уравнению
относительно t.
Действительно, подставив в уравнение x t
a b
, получим
2
a b a b
a b
t
t
c
.
m и возведем
Обозначим
2
2
2
4
4
каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
подобных получим биквадратное уравнение
Обратно
в меню
Пример
2t 4 12m 2t 2 (2m 4 c) 0.

29. Пример

Решить уравнение
(x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.
3 ( 1)
Решение. Сделаем подстановку
t x
2
x 1
Получим следующее уравнение относительно t:
(t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
или
t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0.
Откуда получим биквадратное уравнение
t4 + 24t2 - 25 = 0,
корни которого t = ± 1.
Следовательно, x + 1 = ± 1.
Значит, корни исходного уравнения
Обратно
в меню
x = -2 и x = 0.
Ответ: -2;0.

30. Уравнение вида

P( x)
0
Уравнение вида
Q( x)
Решить уравнение Р(х) = 0.
Для каждого корня уравнения Р(х) = 0
сделать проверку: удовлетворяет ли он
условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
это — корень заданного уравнения,
а если нет, то этот корень является
посторонний для заданного уравнения
и в ответ его включать не следует.
Обратно Пример
в меню

31. Пример

2
x
6x 8
Решите уравнение
0.
2
x 2x
Решение.
Приравняем числитель дроби к нулю и решим
полученное уравнение:
x 2,
x 6 x 8 0,
x 4.
Значение х = 2 не удовлетворяет условию x 2 2 x 0.
2
Обратно
в меню
Следовательно, уравнение имеет один
корень х= 4.
Ответ: 4.

32. Уравнение вида

P( x)
Q( x)
b
c 0
Уравнение вида а
Q( x)
P( x)
Подстановкой P( x) t это уравнение
Q( x)
сводится к виду
1
аt b c 0
t
Умножим на t 0 и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
P( x)
t0 ,
Остается сделать обратную подстановку
Q( x)
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
Обратно Пример
относительно х.
в меню

33. Уравнение вида

P( x)
Q( x)
b
c 0
Уравнение вида а
Q( x)
P( x)
Подстановкой P( x) t это уравнение
Q( x)
сводится к виду
1
аt b c 0
t
Умножим на t 0 и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
P( x)
t0 ,
Остается сделать обратную подстановку
Q( x)
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
Обратно Пример
относительно х.
в меню

34. Пример

Решите уравнение
x
2x 1
2.
2x 1
x
Решение.
x
Сделаем подстановку 2 x 1 t и решим полученное
уравнение относительно t :
1
t 2, t 2 2t 1 0, t 1.
t
Обратная подстановка приводит к уравнению
Обратно
в меню
x
1, корень которого х = -1.
2x 1
Ответ: -1.

35. Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей

1-й способ
Перенести все члены уравнения
в одну часть.
P( x)
0 и найти
Привести уравнение к виду
Q(х)
корни полученного уравнения.
2-й способ
Определить О.Д.З. уравнения.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель
дробей и получить целое уравнение.
Найти корни полученного уравнения и проверить их
соответствие О.Д.З.
Обратно
в меню
Пример

36. Пример

Решите уравнение
Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут
обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.
Перенесём члены из правой части уравнения в левую и
приведём к общему знаменателю.
.
Обратно
в меню
2
1
4
2 x 2 x 2 x
2 2x x 2 x 4 2
х2 6х 8
0
0.
2x 2 x
2x 2 x
Приравняем числитель дроби к нулю:
х2 – 6х + 8 = 0.
Находим корни квадратного уравнения:
х = 4 и х = 2.
Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
Ответ: 4.

37. Уравнения вида

px
qx
r
,
(
r
0)
2
2
ax bx c ax dx c
Данное уравнение сводится к
квадратному уравнению заменой
переменной
c
t ax
Обратно
в меню
Пример
x

38. Пример

Решить уравнение
2х
13х
2
6.
2
2 х 5х 3 2 х х 3
Решение. О.Д.З. уравнения есть множество R \ 1;1 1 .
2
Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения,
перепишем уравнение в виде
2
3
2х 5
x
13
3
2х 1
x
6
(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).
Обозначим
Обратно
в меню
3
t 2 x и уравнение примет вид
x
2
13
t 5
t 1
6.

39. Продолжение решения

О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.
Решая это уравнение, приходим к квадратному
уравнению
2t2 - 13t + 11 = 0,
корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
Делаем обратную подстановку и получаем два
рациональных уравнения
3 11
3
2 x 1, 2 x ,
x 2
x
решив которые находим корни заданного
уравнения.
Обратно
в меню
3
Ответ: ; 2.
4

40. Литература

Алгебра и
математический анализ, 10
Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,
С.И. Шварцбурд
Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие
для школ и классов с углубл. изучением
математики (серия «Дидактические
материалы»)
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.