Решение неравенств с модулем

1.

Решение неравенств с
модулем

2.

Способы решения неравенств с модулями:
1. По определению модуля
2. Возведение обоих частей неравенства
в квадрат
3. Замена переменной
4. Раскрытие модуля на промежутке
знакопостоянства
5. Равносильность неравенств системам
6. Важный частный случай
2

3.

1.По определению модуля
| f (x) | < а
-a
| f (x) |> а
a
5x 2 4
|3x-1|<7
-7< 3x-1 <7
-6< 3x <8
8
-2< x <
-a
a
5 x 2 4
5 x 2 4
5 x 6
5 x 2
3
8
Ответ: 2;
3
2 6
Ответ : ; ;
5 5
3

4.

2.Возведение обеих частей в квадрат
|x2-1| > |x2-x|
(x2-1)2 > (x2-x)2 - равносильность не нарушена
(x2-1+ x2-x)(x2-1-x2+x) > 0 – разность квадратов
(2x2-x-1)(x-1) > 0
-
+
1
2
+
1
4

5.

3.Замена переменной
+ - -2
0
+
t
3
5

6.

4. Раскрытие модуля на промежутках
знакопостоянства
|x-1| + |2-x| > 3
x-1
-
2-x
+
1
+
Нули подмодульных выражений: x =1 и x =2
2
+
+
-
а)
б)
в)
x 1
( x 1) 2 x 3
x 1
x 0
1 x 2
x 1 x 3
x 2
x 3 x 3
x 2
x 3
0
1
х ;0
1 x 2
1 3 неверное
Ответ : ;0 3;
2
3
х 3;
6

7.

5. Равносильность неравенств системам или
их совокупности
См. решение по определению
Равносильно неравенству:
Можно записать в виде
системы
Неравенство равносильно двум
неравенствам:
Можно записать в виде совокупности
7

8.

5. Равносильность неравенств системам
(примеры)
№1
3 x | 2 x | 5
| 2 x | 5 3 x
№2
5 x 7 | x 2 |
| x 2 | 5 x 7
2 x 5 3 x
2 x 3 x 5
1
x 1 2
x 1 3
4
x 2 5x 7
x 2 7 5x
1
x 2 4
x 5
6
1
Ответ : ( ;1 ]
2
1
Ответ : ( ;2 )
4
8

9.

6. Один частный случай
x 1
1
x 2
x 1
x 2
1
ОДЗ : x 2
умножим на |x+2|>0 в ОДЗ
возведем в квадрат, обе части
| x 1 | | x 2 |
( x 1 x 2)( x 1 x 2) 0 для преобразования используем
разность квадратов
(2 x 1)( 3) 0
2x 1 0
x 12
Учитывая ОДЗ, получим:
1
Ответ : ( ; 2) ( 2; )
2
9