Неравенства с модулем

1.

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

2. 1.По определению модуля

|f(x)|<0
-a
|3x-1|<7
-7<3x-1<7
-6<3x<8
8
-2<x<
3
8
Ответ: 2;
3
|f(x)|>0
a
5x 2 4
-a
a
5 x 2 4
5 x 2 4
5 x 6
5 x 2
2 6
Ответ : ; ;
5 5
К пример

3. 2.Возведение обеих частей в квадрат

|x2-1|>|x2-x|
(x2-1)2>(x2-x)2 - равносильность не нарушена
(x2-1+x2-x)(x2-1-x2+x)>0 – разность квадратов
2(2x2-x-1)(x-1)>0
-
+
1
2
+
1
1
Ответ : ;
2
К примеру

4. 3.Замена переменной

x 2 | x | 6 0
t | x |; t 0
t2 t 6 0
t 2 - не удовлетворяет условию
t 3
t 3
| x | 3
x 3;3
Ответ : 3;3
К примеру

5. 4.Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

|x-1|+|2-x|>3
Нули подмодульных выражений: X=1
X-1
-
+
+
2-x
+
+
-
X=2
а)
б)
в)
x 1
( x 1) 2 x 3
x 1
x 0
1 x 2
x 1 x 3
x 2
x 3 x 3
x 2
x 3
0
1
х ;0
1 x 2
1 3 неверное
Ответ : ;0 3;
2
3
х 3;

6. 5.

| f ( x) | g ( x)
| f ( x) | g ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

7. 5.

3 x | 2 x | 5
| 2 x | 5 3 x
5 x 7 | x 2 |
| x 2 | 5 x 7
2 x 5 3 x
2 x 3 x 5
1
x 1 2
x 1 3
4
x 2 5x 7
x 2 7 5x
1
x 2 4
x 5
6
1
Ответ : ( ;1 ]
2
1
Ответ : ( ;2 )
4

8. 6. Один частный случай

x 1
1 ОДЗ : x 2
x 2
x 1
x 2
1
| умножим на |x+2|>0 в ОДЗ
| x 1 | | x 2 | | возведем в квадрат, разность квадратов
( x 1 x 2)( x 1 x 2) 0
(2 x 1)( 3) 0
2x 1 0
x 12
Сравним с ОДЗ
1
Ответ : ( ; 2) ( 2; )
2

9.

1.|x 2| 3
По определению модуля
2.|x 2| |x 4|
Возведение обеих частей в квадрат
( 5;1)
( 1; )
2
( ; ]
3
[ 1;0] [1; ]
3.|x 3| 2 x 1
5 способ
4.x|x| x
5.x 2 7|x| 8 0
Раскрытие модуля на промежутках
знакопостоянства
Замена переменной
6.|x 2 17| 1
По определению модуля
( ; )
x 1
7.
1
x 2
По определению модуля
1
( ; 2) ( 2; )
2
8.2 | x 1 | ( x 1) 2 1
Замена переменной
0;2
( ;8] [8; )