Делимость в кольце чисел. Многочлены. Конечные поля целых. Математика

1.

МАТЕМАТИКА
Модуль 3

2.

Полезные советы

3.

Разделы
• Делимость в кольце
чисел
• Многочлены
• Конечные поля
целых

4.

АРГУМЕНТЫ «за»
• Компьютерная алгебра - аналитические и
символьные вычисления на компьютере
(70-е гг. XX века)
• Разработка алгоритмов, позволяющих
решать математические задачи в
аналитическом виде

5.

Представление данных в компьютерной алгебре
При аналитических вычислениях (вручную или с использованием
компьютера) используются элементы множеств:
кольцо целых чисел Z,
поле рациональных чисел Q,
кольцо вычетов по некоторому модулю,
кольца многочленов,
различные элементарные функции.
Особенность: объекты этих множеств допускают неоднозначную запись в
виде символьных выражений, т. е. неоднозначное представление в
машинной памяти.
Проблема: разнообразие и неоднозначность
Проблема представления данных в общем виде:
имеется множество объектов T и на нем отношение
эквивалентности ~ , требуется в каждом классе эквивалентных
объектов выбрать единственного представителя этого класса.

6.

Представление данных в компьютерной алгебре

7.

Вычисления в системах компьютерной алгебры
Вычисления с целыми
числами, которые
ограничены по абсолютной
величине некоторой
заданной константой
Вычисления с элементами
конечного поля из р
элементов
Вычисления в конечном
поле GF(p, k )
используют систему вычетов этих чисел
по модулям некоторых взаимно простых
чисел,
произведение
которых
превосходит упомянутую константу, так
как вычисления с классами вычетов
выполняются, как правило, быстрее*
используют систему вычетов по модулю р
*
используют вычисления в факторкольце
кольца многочленов Zp[x] по идеалу,
который
порожден
некоторым
неприводимым
по
модулю
p
многочленом степени k

8.

Литература
1.Вечтомов, Е. М. Математика: основные математические структуры : учебное пособие
для вузов / Е. М. Вечтомов. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 296 с. —
(Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08077-3. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт
[сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/454363 ( глава 2)
2.Сикорская, Г.А. Алгебра и теория чисел : учебное пособие / Г.А. Сикорская ;
Оренбургский государственный университет. – Оренбург : Оренбургский государственный
университет, 2017. – 304 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. –
URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=485715 . – Библиогр.: с. 259-260. – ISBN
978-5-7410-1943-6. – Текст : электронный. ( часть 1, глава 1).
3.Алгебра. Многочлены : учебно-методическое пособие / С.А. Осипенко. - М.|Берлин :
Директ-Медиа, 2016. - 74 с. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=456770. Режим доступа: для авториз. пользователей. - ISBN 978-5-4475-3910-8. - Текст :
электронный.
.

9.

Литература по теории чисел
Бухштаб А.А. Теория чисел : классический учебник по теории чисел,
Охватывая полностью учебную ун6иверситетскую программу по теории
чисел, содержит и дополнительный материал для курсовых работ по
теории чисел, а также вопросы исторического развития теории чисел.
Сизый С. В.Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических
специальностей: переработанный конспект лекций по курсу "Теория чисел"
для студентов третьего курса механико-математического факультета
Уральского государственного университета.
Н. А. Казачек,Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин .Алгебра и теория
чисел. Учеб. пособие для студентов: теория делимости в кольце целых чисел
,теория делимости в коммутативных кольцах, теория сравнений и
некоторые приложения теории
Виноградов И. М. Основы теории чисел: для студентов математических
специальностей университетов, аспирантов, научных работников в
области математики.
Михелович Ш.Х. Теория чисел: пособия по курсу теории чисел для физикоматематических факультетов педагогических институтов
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел: для студентов
высших учебных заведений, школьников интересующихся математикой.

10.

Делимость в кольце целых чисел

11.

Алгебраические структуры: поле

12.

Алгебраические структуры: коммутативное кольцо с 1

13.

Введение в тему
• Множество целых чисел относительно операций сложения и
умножения является коммутативным кольцом с 1: < Z, +,∙ >.
При этом только два целых числа обратимы.
• Вопросы, связанные с выполнимостью операции деления, т.е. с
разрешимостью уравнения ax=b
составляют содержание
теории делимости целых чисел, которая в свою очередь
является частью теории чисел.
• Делимость в данном кольце целых чисел
• Делимость в коммутативных кольцах (обобщение)
• Делимость в кольце многочленов ( частный случай
коммутативного кольца)
• Конечные поля

14.

Определение отношения делимости в кольце
целых чисел

15.

Свойства отношения делимости
в кольце целых чисел

16.

Свойства отношения делимости
в кольце целых чисел

17.

Деление с остатком

18.

19.

20.

Наибольший общий делитель

21.

Наибольший общий делитель

22.

Алгоритм Евклида

23.

Алгоритм Евклида

24.

Пример

25.

Применение алгоритма
Евклида

26.

Свойства НОД двух целых чисел

27.

Свойства НОД двух целых чисел

28.

Свойства НОД двух целых чисел. Линейное представление НОД

29.

Пример нахождения линейного
представления НОД

30.

Как найти НОД конечной совокупности целых чисел?