Арифметические основы ЭВМ. Представление систем информации с помощью систем счисления

1.

2. Цели занятия:

Усвоить определение следующих понятий:
Система счисления, цифра, число, основание системы счисления, разряд,
алфавит, непозиционная система счисления, позиционная система
счисления, единичная (унарная) система счисления.
Научиться записывать:
десятичное число в римской системе счисления,
любое число в позиционной системе счисления в развернутой форме
Уметь:
определять основание системы счисления
приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления
объяснить разницу между числом и цифрой позиционной и непозиционной
системой счисления

3.

- Это знаковая система, в которой числа записываются по
определенным правилам с помощью символов некоторого
алфавита, называемых цифрами.
Система счисления - Это совокупность приемов и
правил, по которым числа записываются и читаются.

4.

системы счисления
позиционные
непозиционные

5.

Непозиционной называют систему
счисления, в которой количественное
значение цифры не зависит от ее
положения в числе.

6.

Примерами непозиционных систем
счисления являются:
единичная
десятичная древнеегипетская
алфавитная система записи чисел
(римская)

7. Единичная система счисления

В древние времена, когда люди начали считать, появилась
потребность в записи чисел. Первоначально количество
предметов отображали равным количеством каких-нибудь
значков: насечек, черточек, точек.
+
+
=

8. Десятичная древнеегипетская система счисления

(Вторая половина третьего тысячелетия)
Для обозначения ключевых чисел использовали
специальные значки-иероглифы:

9. Алфавитная система записи чисел

До конца XVII века на Руси в качестве цифр
использовались следующие буквы
кириллицы, если над ними ставился
специальный знак - титло. Например:

10. Римская система счисления

До нас дошла римская система записи чисел
Применяется более 2500 лет.
В качестве цифр в ней используются латинские буквы:
I
1
V
5
X
10
L
C
50 100
D
M
500 1000
Например:
CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128

11.

Позиционной называют систему
счисления, в которой количественное
значение цифры зависит от ее
положения в числе.

12. Вавилонская система счисления

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем
Вавилоне, причем вавилонская нумерация была
шестидесятеричной, то есть в ней
использовалось шестьдесят цифр!
Числа составлялись из знаков двух видов:
Единицы –прямой клин
Десятки – лежачий клин
Сотни
10 + 1 = 11

13. Основные понятия

Алфавит
Например:
Римская с.с.: M,D,C,L,X,V,I
Десятичная с.с.: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная: 0,1

14. Позиционные системы счисления

Наиболее распространенными в настоящее время
являются
-десятичная
-двоичная
-восьмеричная
-шестнадцатеричная позиционные системы
счисления.

15. Десятичная система счисления

Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Именно поэтому наша современная система счисления называется
десятичной.
Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:
«Преимущества десятичной системы счисления не
математические, а зоологические. Если бы у нас было
на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество
бы пользовалось восьмеричной системой счисления.»

16. Десятичная система счисления

Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской, но зародилась
она в Индии, в V веке.
В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов,
которые были переведены на латынь.
Этим и объясняется название «Арабские цифры».
Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система
счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять
любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины.
Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

17. Арабская нумерация

Возобладала при Петре I
Как видоизменялись цифры, употреблявшиеся арабами,
пока они не приняли современные формы:

18. Преимущества позиционных с.с.

Простота выполнения
арифметических операций
Ограниченное количество
символов, необходимых для записи
числа
Использование в ЭВМ (машинные
с.с.)

19.

Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной
арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в
которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными
числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.
В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной
технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры:
0и1
Пример:
Свернутая форма записи числа: 1012
2 1 0
Развернутая форма: 101 =1*22 +0*21+1*20
Все числа в компьютере представляются
с помощью нулей и единиц, т. е.
в двоичной системе счисления.

20. Позиционная система счисления

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы
счисления.
За основание позиционной системы можно принять любое натуральное число больше единицы.
Основание системы, к которой относится число, обозначается
подстрочным индексом к этому числу.
1110010012
356418
43B8D16
Пример: основание десятичной системы счисления =10
Позиция цифры в числе называется разрядом
Число 555- свернутая форма.
2
1
0
555=5*10+5*10+5*10- развернутая форма числа.

21. Основные понятия для позиционных с.с.

Разряд – позиция цифры в числе
Основание – количество цифр в
алфавите
4567,05610
3 2 1
0
-1 -2 -3
основание
Разряды
Число записано в десятичной с.с.

22. Алфавиты нескольких систем

Основание
Система
Алфавит
n=2
Двоичная
01
n=3
Троичная
012
n=8
Восьмеричная
01234567
n=16
шестнадцатеричная
0123456789ABCDEF

23. Карточка №1:

Запишите в римской системе счисления числа:
1.
9=
12 =
2778 =
2.
Какие числа записаны с помощью римских цифр:
LXV=
MCMLXXXVI =
__________________________+ (дополнительно)
Исправьте неверные равенства, переложив с одного места на другое только одну
палочку:
VII –V = XI
IX – V = VI

24. Развернутая форма записи числа в позиционной с.с.

Развернутой формой или степенным рядом
называют произведение каждой цифры числа
на основание системы счисления в степени,
соответствующей разряду этой цифры.
126,5710=1*102+2*101+6*100+5*10-1+7*10-2
3256,5438=3*83+2*82+5*81+6*80+5*8-1+4*82+3*8-3
Запишите развернутую форму чисел:
221,1123,
110011,11012

25. Перевод чисел из любой позиционной с.с. В десятичную

Записать развернутую форму числа
Вычислить значение
арифметического выражения
Задание:
Переведите числа с предыдущего
слайда в десятичную с.с.

26. Перевод целых чисел из десятичной в любую позиционную с.с.

Последовательно выполнять деление данного
числа и получаемых целых частных на
основание новой системы счисления до тех
пор, пока не получится частное, равное нулю.
Полученные остатки, являющиеся цифрами
числа в новой с.с., привести в соответствие с
алфавитом новой системы счисления.
Составить число в новой с.с., записывая его ,
начиная с последнего остатка

27. Переведем число 2510 в 2-ю с.с.

25 2
24 12 2
1 12 6 2
0 6 3
0 2
1
2
1 2
0 0
1
Ответ:2510=110012

28. Перевод дробных чисел из десятичной в любую позиционную с.с.

Последовательно умножаем данное число и
получаемые дробные части произведения на
основание новой с.с. до тех пор, пока дробная
часть произведения не станет равна нулю или
будет достигнута требуемая точность
представления числа.
Полученные целые части произведений,
являющиеся цифрами числа в новой с.с.,
привести в соответствие с алфавитом новой
с.с.
Составить дробную часть числа в новой с.с.,
начиная с целой части первого произведения.

29. Переведем 0,45510 в 5-ю с.с.

0,455
5
2,275
5
1,375
5
1, 875
Ответ:0,45510=0,2115
(с точностью до трех знаков после
запятой)