Парабола. Свойства и применение

1.

Гадерметьева Е. А.
МБОУ СОШ № 221 г.
Екатеринбург

ПАРА́БОЛА - (ГРЕЧ. Παραβολή — ПРИЛОЖЕНИЕ)
— ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК,
РАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ДАННОЙ ПРЯМОЙ И
ДАННОЙ ТОЧКИ
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим
сечением. Она может быть определена как коническое сечение
с единичным эксцентриситетом.

3.

ПОЧЕМУ ПАРАБОЛУ НАЗЫВАЮТ
КОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЕ?
Парабола-это сечение
плоскостью,
параллельной его образующей.

4.

Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и
линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и
директрису.
Вершина является серединой отрезка между фокусом и
директрисой.
На директрисе задается произвольная система отсчета с нужным
единичным отрезком.
Каждая последующая точка
является пересечением
серединного
перпендикуляра отрезком
между фокусом и точкой
директрисой, находящемся
на кратном единичному
ПОСТРОЕНИЕ
отрезку
расстоянии от ПАРАБОЛЫ
начала отсчета, и прямой,
проходящей через эту точку и
параллельной оси параболы.

5.

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ.
Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось
проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы,
отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет
от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в
пучок параллельных её оси лучей.
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то
его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и
директрисой определяет масштаб.

6.

СВОЙСТВА.
Свойство 1. На каждую ветвь параболы y=x2
«нанизаны» прямоугольники размером 1×1, 3×1, 5×1,
7×1, и т.д. Это следует из известного равенства
1+3+5+7+ . . . +(2n –1)=n2.

7.

СВОЙСТВА.
Свойство 2. Если на ось Оу последовательно и плотно «нанизать»
квадраты со сторонами 1, 2, 3, . . . n через диагональные вершины,
то все остальные вершины этих квадратов принадлежат одной
параболе.

8.

СВОЙСТВА.
Свойство 3.( найденное мною). Вершины четырёхугольника ABCD
лежат на параболе y = x2. Если диагонали AC и BD параллельны
биссектрисам координатных углов, то сумма абсцисс вершин A,
B, C, D равна нулю. В самом деле, прямая AC задается
формулой y = – x+a, тогда, учитывая, что точки А и В лежат на
параболе, заметим, что абсциссы этих точек удовлетворяют
уравнению х2+х – а=0. По теореме Виета х1+х3=–1. Аналогично
доказывается, что х2+х4=1. Теперь понятно, что
х1+х2+х3+х4=(х1+х3)+(х2+х4)= –1+1=0.
Это только некоторые свойства.

9.

ПАРАБОЛОИДЫ, незамкнутые поверхности (2-го порядка). Параболоид
может быть образован движением параболы, вершина которой скользит по
другой, неподвижной параболе (с осью, параллельной оси движущейся
параболы), тогда как ее плоскость, смещаясь параллельно самой себе,
остается перпендикулярной плоскости неподвижной параболы. При этом
получается эллиптический параболоид или гиперболический параболоид,
смотря по тому, направлены ли оси ''образующей'' и ''направляющей''
парабол в одну и ту же или противоположные стороны. Частный случай
эллиптического параболоида - параболоид вращения, который образуется
при вращении параболы вокруг ее оси.
ПАРАБОЛОИДЫ.

10.

ПАРАБОЛЫ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или
другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму
параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются
гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для
гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической
траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного
гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем
Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные
зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и
вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в
конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических,
инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн,
необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других
областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

11.

ПАРАБОЛЫ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Параболическая солнечная
электростанция в
Калифорнии, США
Параболические траектории
струй воды

12.

В технике.
Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей,
параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот,
формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе
источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопырефлекторы, прожекторы, автомобильные фары и т. д.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПАРАБОЛОИДОВ.
телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.

Парабола. Свойства и применение

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.