Характеристики вариационного ряда. Математическая статистика

1. Математическая статистика

2. Характеристики вариационного ряда

3. Характеристики вариационного ряда

Кроме выборочных средней, дисперсии и среднего
квадратического отклонения в качестве статистических
оценок вариационного ряда используются следующие
характеристики:
1. Мода М0;
2. Медиана med X;
3. Размах выборки R;
4. Среднее абсолютное отклонение θ;
5. Коэффициент вариации V.

4.

Мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту
(относительную частоту).
Медиана med X – варианта, делящая вариационный
ряд на две части, равные по числу вариант.
При нечетном числе вариант (n 2l 1, l 0,1,2, )
med X xl 1
при четном числе вариант (n 2l , l 1,2,
xl xl 1
med X
2
)

5.

Размах выборки – разность между наибольшей и
наименьшей вариантами, то есть
R xmax xmin .
Среднее абсолютное отклонение – среднее
арифметическое абсолютных отклонений, то есть
1 k
xi xB ni ,
n i 1
используемое для характеристики распределения
вариационного ряда.

6.

Коэффициент вариации V – отношение выборочного
среднего квадратического отклонения к выборочному
среднему в процентах, то есть
V
в 100%
.
xв
Коэффициент вариации служит для сравнения
величин рассеяния двух вариационных рядов.
Вариационный ряд, у которого коэффициент вариации V
больше, имеет больше рассеяние.
Коэффициент вариации – безразмерная величина,
поэтому он применим для сравнения рассеяния
вариационных рядов, варианты которых имеют
различную размерность.

7. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

8.

Для оценки нормальности распределения
критерию моментов вводятся две характеристики:
Асимметрия теоретического распределения
3
3
AX 3 , где 3 M X M ( X ) ,
X
по
которая характеризует асимметричность нормального
распределения.
Если
кривая
нормального
распределения
симметрична, то АХ=0.
Если длинная часть кривой слева, то АХ<0, если
длинная часть кривой справа, то АХ>0.
Выборочная асимметрия определяется по формуле:
1 n
3
AB
x x ni .
3 i
n X i 1

9.

Эксцесс теоретического распределения
4
4
E X 4 3, где 4 M X M ( X ) 3 ( x),
X
который характеризует крутость кривой нормального
распределения.
Для кривой нормального распределения ЕХ=0.
Если кривая имеет острую вершину (вытянута), то
ЕХ>0, а если кривая пологая, то есть имеет плоскую
вершину, то ЕХ<0.
Выборочный эксцесс определяется по формуле:
1 n
4
EB
x x ni 3.
4 i
n B i 1

10.

Для
оценки
нормальности
распределения
вычисляется:
6( n 1)
Дисперсия асимметрии DА
.
(n 1)( n 3)
24n(n 2)(n 3)
.
Дисперсия эксцесса DE
2
(n 1) (n 3)(n 6)
Случайная
величина
имеет
нормальное
распределение (выполняется нулевая гипотеза), если
выполняются одновременно неравенства:
AB 3 DA ,
EB 5 DE .
Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то
гипотеза о нормальности распределения отвергается.