Кванторы. Квантор всеобщности (общности)

1.

КВАНТОРЫ

2.

4. Кванторы
□ Квантор — это общее название для
логических операций,
ограничивающих область
истинности какого-либо предиката.
В математической логике наиболее
употребительны квантор
всеобщности ∀ и квантор
существования ∃.

3.

Квантор всеобщности
(общности)
Пусть Р(х) — одноместный предикат,
определенный на множестве М.
□ Под
выражением
хР(х)
понимают
высказывание, истинное, если Р(х) истинно
для каждого элемента х ∈ М и ложное в
противном случае. Иными словами, истинность
высказывания хР(х) означает, что область
истинности предиката Р(х) совпадает с
областью изменения переменной х. Читается
это высказывание: «для всякого х истинно
(имеет место) P(x)».

4.

Квантор всеобщности
(общности)
□ ≪A верно при любом значении x≫,
□ ≪для произвольного x имеет место
A(x)≫,
□ ≪каково бы ни было x, A(x)≫,
□ ≪для каждого x (верно) A(x)≫,
□ ≪всегда имеет место A(x)≫,
□ ≪каждый обладает свойством A≫,
□ ≪свойство A присуще всем≫
и т. п.

5.

Квантор существования ∃
Под
выражением
∃хР(х) понимают
высказывание, истинное, если существует х ∈
М для которого P(x) истинно, и ложное в
противном случае.
Иными
словами,
истинность
высказывания ∃хР(х) означает, что область
истинности предиката P(x) непуста. Читается
это высказывание: «существует х при котором
P(x) истинно».

6.

Квантор существования ∃
□ ≪A(x) верно при некоторых x≫,
□ ≪A(x) иногда верно≫,
□ ≪есть такое x, при котором A(x)≫,
□ ≪можно найти такое x, при котором
A(x)≫,
□ ≪у некоторых вещей есть признак A≫,
□ ≪по крайней мере один объект есть A≫
и т. п.

7.

Свободные и связанные
вхождения переменных
□ О высказывании ∀хP(x) (соответственно
∃xP(x)), говорят, что оно получено из
предиката P навешиванием квантора
всеобщности (соответственно, квантора
существования)
по
переменной
х.
Переменная,
на
которую
навешен
квантор,
называется
связанной
переменной.

8.

Замечание
□ Полезно отметить, что кванторы
можно
рассматривать
как
обобщения логических связок. В
случае предикатов, определенных
на
беско-нечных
множествах,
квантор
всеобщности
обобщает
конъюнкцию,
а
квантор
существования—дизъюнкцию.

9.

Свободные и связанные
вхождения переменных
□ Навешивать кванторы можно и на
многоместные предикаты и вообще на
любые
логические
выражения.
Выражение, на которое навешивается
квантор ∀х или ∃x , называется областью
действия
квантора;
все
вхождения
переменной в это выражение яв-ляются
связанными. Не связанные кванторами
переменные называются свободными
переменными.

10.

□ Например, к предикату P(x,y) от двух
переменных
кванторные
операции
можно применить к одной переменной
или к двум переменным. Получаем
следующие высказывания:
∀хP(x;y);∀yP(x;y)∃x P(x;y); ∃yP(x;y);
∀х∃yP(x;y); ∀х∀yP(x;y); ∃ х∃yP(x;y).
В общем случае изменение порядка следования
кванторов изменяет смысл высказывания и его
логическое значение.

11.

Пример
□ 1. Пусть «х является матерью у ».
Тогда ∀у∃хP(x;y)=«у каждого человека
есть мать х»,
∃у∀хP(x;y) =«существует мать всех
людей».
Таким образом, перестановка кванторов
изменяет смысл высказывания и его
логическое
значение
(первое
высказывание истинно, второе—ложно).

12.

Пример
2.Установить истинность или ложность
высказывания:∃х(х∈{2,5}→(х2– 6х+ 8)).
Решение. Уравнение х2 – 6х+ 8 имеет
корни х1 =2, х2 =4. Используя
тождество А →В (А В), исходное
высказывание преобразуем к виду:
∃х (х∈{2,5} (х2 – 6х+ 8))
∃х (х∈{2,5} х 2,4 ) ∃х (х=5)
∃х(х 5).
Следовательно,
исходное
высказывание истинно.

13.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Укажите свободные и связанные
вхождения
переменных
в
следующих записях:
a) «Наибольшее х такое, что х∈R+»;
b) «Наименьшее х такое, что х∈N»;
c) «
».
Какие из этих формул замкнутые?
Открытые?