Цилиндр. Конус. Шар

1.

Цилиндр
Конус
Шар

2. 1. Цилиндр

3. 1. Цилиндр

• Цилиндр (круговой цилиндр) –
тело, которое состоит из двух
кругов,
совмещаемых
параллельным переносом, и
всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих
кругов.
Круги
называются
основаниями
цилиндра,
а
отрезки,
соединяющие
соответствующие
точки
окружностей
кругов,
–
образующими цилиндра.

4. 1. Цилиндр

• Основания цилиндра равны и
лежат
в
параллельных
плоскостях, а образующие
цилиндра параллельны и
равны. Поверхность цилиндра
состоит из оснований и
боковой поверхности. Боковую
поверхность
составляют
образующие.
• Цилиндр называется прямым,
если
его
образующие
перпендикулярны плоскостям
основания.

5. 1. Цилиндр

• Радиус цилиндра – радиус его
основания. Высота цилиндра –
расстояние между плоскостями
оснований.
• Осью цилиндра называется
прямая, проходящая через
центры
оснований.
Она
параллельна
образующим.
Сечение цилиндра плоскостью,
проходящей
через
ось
цилиндра, называется осевым
сечением.

6. 1. Цилиндр

• Цилиндр можно рассматривать как тело,
полученное при вращении
прямоугольника вокруг одной из сторон
как оси.

7. 1. Цилиндр

• Плоскость,
перпендикулярная
оси
цилиндра, пересекает его
боковую поверхность по
окружности,
равной
окружности основания.

8. 1. Цилиндр

• Площадь боковой поверхности прямого цилиндра
можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра
представляет собой прямоугольник с высотой h и
длиной С, которая равна периметру основания.
• С = 2πR, и Sб = 2πRh.

9. 1. Цилиндр

• Площадь полной поверхности
цилиндра равна сумме площадей
его боковой поверхности и его
оснований.
• Для прямого кругового цилиндра:
Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR(h + R)
• Формула для нахождения объёма
кругового цилиндра выглядит
следующим образом:
V = π R2 h = π (d2 / 4)h,
где d – диаметр основания.

10. 2. Конус

11. 2. Конус

• Конус (круговой конус) – тело,
которое состоит из круга –
основание конуса, точки, не
принадлежащей плоскости этого
круга, – вершины конуса и всех
отрезков,
соединяющих
вершину
конуса
и
точки
окружности основания. Отрезки,
которые соединяют вершину
конуса с точками окружности
основания,
называются
образующими
конуса.
Поверхность конуса состоит из
основания
и
боковой
поверхности.

12. 2. Конус

Конус
называется
прямым, если прямая,
которая
соединяет
вершину
конуса
с
центром
основания,
перпендикулярна
плоскости
основания.
Прямой круговой конус
можно рассматривать как
тело, полученное при
вращении
прямоугольного
треугольника вокруг его
катета как оси.

13. 2. Конус

• Высотой конуса называется
перпендикуляр, опущенный
из
его
вершины
на
плоскость основания. У
прямого конуса основание
высоты
совпадает
с
центром основания. Осью
прямого конуса называется
прямая, содержащая его
высоту.

14. 2. Конус

• Осевое
сечение
конуса есть
равнобедренный
треугольник.

15. 2. Конус

• Площадь боковой поверхности
конуса
можно
найти
по
формуле:
Sбок = πRl,
где R – радиус основания, l – длина
образующей.
• Площадь полной поверхности
конуса находится по формуле:
Sкон = πRl + πR2,
где R – радиус основания, l – длина
образующей.

16. 2. Конус

• Объём конуса равен трети
произведения высоты на
площадь основания:
V = 1/3 πR2H,
где R – радиус основания, Н –
высота конуса

17. 2. Конус

• Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус
по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром
на оси конуса.
• Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него
меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым
конусом.

18. 2. Конус

• Площадь боковой поверхности
усеченного конуса можно найти
по формуле:
Sбок = π(R + r)l,
где R – радиус нижнего основания, r
– радиус верхнего основания, l –
длина образующей.
• Площадь полной поверхности
усеченного конуса можно найти
по формуле:

19. 2. Конус

• Объём усечённого конуса
можно найти следующим
образом:
V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),
где R – радиус нижнего
основания, r – радиус
верхнего основания, Н –
высота конуса.

20. 3. Шар

21. 3. Шар

Шар – это тело, состоящее из всех
точек
пространства,
которые
находятся на расстоянии, не
большем данного от данной точки.
Эта точка называется центром
шара, а данное расстояние –
радиусом шара. Граница шара
называется шаровой поверхностью
или сферой. Точками сферы
являются все точки шара, которые
удалены от центра на расстояние,
равное радиусу. Любой отрезок,
который соединяет центр шара с
точкой шаровой поверхности, тоже
называется радиусом. Проходящий
через центр шара отрезок, который
соединяет две точки шаровой
поверхности,
называется
диаметром.
Концы
любого
диаметра
называются
диаметрально противоположными
точками шара.

22. 3. Шар

Шар
получается
при
вращении
полукруга
вокруг его диаметра как
оси.

23. 3. Шар

• Площадь поверхности шара
можно найти по формулам:
S = 4 πr2
S = πd2,
где r – радиус шара, d –
диаметр шара.

24. 3. Шар

• Объём шара находится по
формуле:
V = 4 / 3 πr3,
где r – радиус шара.

25. 3. Шар

Всякое
сечение
шара
плоскостью есть круг. Центр
этого круга есть основание
перпендикуляра, опущенного
из центра шара на секущую
плоскость.
Плоскость, проходящая через
центр
шара,
называется
диаметральной плоскостью.
Сечение шара диаметральной
плоскостью,
называется
большим кругом, а сечение
сферы
–
большой
окружностью.

26. 3. Шар

Шаровым
сегментом
называется часть шара,
отсекаемая
от
него
плоскостью. Круг ABC –
основание
шарового
сегмента. Отрезок MN
перпендикуляра,
проведенного из центра N
круга ABC до пересечения
со
сферической
поверхностью, – высота
шарового сегмента. Точка
M – вершина шарового
сегмента.

27. 3. Шар

• Площадь
поверхности
шарового сегмента можно
вычислить по формуле:
S = 2πRh,
где R – радиус большого круга,
h – высота шарового
сегмента.

28. 3. Шар

• Объём шарового сегмента
можно найти по формуле:
V = πh2(R – 1/3h),
где R – радиус большого круга,
h – высота шарового
сегмента.

29. Задачи

С ПРАКТИЧЕСКИМ
СОДЕРЖАНИЕМ
29

30.

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме
цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см3.
Как это сделать?
Дано: цилиндр,
V=140 см3 , h =5 см
Найти: R
Решение
1) V R h
2
R
R
V
h
140
3см
3,14 5
30

31.

Задача 2. Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы
оснований которого равны 15см и 10см, а образующая равна 30см.
Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить
с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 квадратный метр
требуется 150г краски?
S l ( R r ) r
2
2S 2 l ( R r ) 2 r
2S 2 0,3 0,25 2 0,01
2
R
2S 0,15 0,02 0,17
т 100 0,17 0,15 2,55 (кг )
Ответ : 2,55 8,011(кг )
31

32.

Решите задачи:
№1229
22.05.2024
№1217
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
№1228
32

33.

Задача №1229. Сколько кожи пойдет на покрытие
футбольного мяча радиуса 10см (на швы добавить
8% от площади поверхности мяча)?
S 4 R
2
S 4 10 2 400
O
R
0,08S 0,08 400 32
S 0,08S 400 32 432
S 0,08S 1357(см )
2
33

34.

Задача №1217. Сколько квадратных метров листовой
жести пойдет на изготовление трубы длиной 4м и
диаметром 20см, если на швы необходимо добавить
2,5% от площади её боковой поверхности?
S бо к 2 R H
0,025S бок 0,025 2 RH 0,05 RH
Sбок 0,025S бок 2 RH 0,05 RH 2,05 RH
Sбок 0,025S бок 2,05 RH 2,05 0,1 4 0,82
Ответ : 0,82 2,58( м 2 )
34

35.

Задача №1228. Стаканчик для мороженого конической
формы имеет глубину 12см и диаметр верхней части
5см. На него сверху положили две ложки мороженого в
виде полушарий диаметром 5см. Переполнит ли
мороженое стаканчик, если оно растает?
Ответ: нет
35

36. Спасибо за внимание

37.

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме
цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см3. Как это
сделать (каков радиус)?
Задача 2. Ведро имеет форму усеченного конуса,
радиусы оснований которого равны 15см и 10см, а
образующая равна 30см. Сколько килограммов краски
нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон
100 таких ведер, если на 1 квадратный метр требуется
150г краски?
Sусеч. кон = πR2 + πr2 + π(R + r)l
Vусеч. кон = 1/3 πH(R2 + Rr + r2)
37