Треугольник Паскаля. Число сочетаний

1.

Число сочетаний.
Треугольник Паскаля.

2.

ПРИМЕР 1
Из трёх игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для
выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими
способами это можно сделать?
Решение.
Обозначим игроков различными буквами А, В, С и выпишем все возможные комбинации:
АВ АС ВА ВС СА СВ
Сначала мы брали игрока А и добавляли к нему в пару ещё одного из
двух оставшихся игроков. Так получились первые две пары АВ и АС в
нашем списке. Затем мы взяли игрока В и к нему добавляли одного из
двух оставшихся. Так получились пары ВА и ВС. Наконец, первым
поставили игрока С и добавляли к нему одного из оставшихся игроков.
Получили последние две пары СА и СВ.
Однако среди полученных таким образом комбинаций попадаются
перестановки одной и той же пары. Например, АВ и ВА – это одна и та
же пара. Совпадают и другие пары: АС и СА, а также ВС и СВ. Таким
образом, всего различных пар три:
АВ АС ВС
Общее число комбинаций букв А, В и С сократилось в 2 раза. Это
произошло потому, что из двух разных букв можно составить ровно 2
перестановки.

3.

ПРИМЕР 2
Сколькими способами можно выбрать двух игроков из
четырёх заявленных на матч?
Решение.
Обозначим игроков А, В, С и D. Начнём, как и в
предыдущем примере, составлять пары. Первого игрока
мы можем выбрать четырьмя способами. Вторым к нему
мы можем взять любого из оставшихся трёх:
АВ АС АD
ВА ВС ВD
СА СВ СD
DА DВ DС
Получилось 12 комбинаций. При этом, как и в
предыдущем примере, каждая пара посчитана дважды.
Поэтому различных пар всего 6:
АВ AC AD ВС BD CD

4.

Определение. Сочетанием из N элементов по k называют комбинацию,
составленную из любых k этих элементов без учета их порядка.
Обозначается