Similar presentations:
Перестановки. Факториал. Сочетания
1. Глава 8. Элементы комбинаторики (п.п. 39 -43) Перестановки.Факториал. Сочетания
2. Результаты обучения:
В результате изучения материала главы 8 учащийся должен:• уметь методом перебора находить ответы в комбинаторных
задачах для небольших объемов перебора;
• уметь вычислять число упорядоченных пар, пользуясь правилом
умножения;
• уметь вычислять n!; знать факториалы до 5! и уметь
пользоваться таблицей до 10!;
• уметь находить число перестановок элементов произвольного
конечного множества;
• уметь вычислять , пользуясь формулой
;
• уметь решать простейшие задачи, в которых число
благоприятствующих элементарных событий находится как
число сочетаний .
3. Теоретический материал
• Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, нужночисло предметов первого типа умножить на число предметов
второго типа. (Комбинаторное правило умножения);
• Перестановкой из n предметов называется любой способ
нумерации этих предметов (способ расположения их в ряд);
• Число перестановок n предметов равно n!;
• Теория вероятностей дает способ нахождения численного
значения вероятности события Р(А) = N(A)/N, где
N(A) – количество исходов, при которых событие А появляется,
N – конечное число равновозможных исходов;
• Если есть n предметов, то число способов, которыми можно
выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k
и обозначается
и находится по формуле
.
4. п. 39 задача 4
В автоматических камерах храненияна железнодорожных вокзалах
применяется шифр, который состоит из
одной буквы и трех цифр, буквы берутся
от А до К, исключая Ё и Й, а цифры
могут быть любыми от 0 до 9, например
Д195, Сколько можно составить
различных шифров?
5. п.39 задача 4 решение:
• Буквы: А, Б, В, Г, Д, Е, Н, З, И, К – 10 букв• Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 цифр
•Д195
10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 000
Ответ: можно составить 10 000 различных шифров.
6. п.39 задача 6
Первый класс праздновал Новый год. Каждаядевочка подарила каждому мальчику
открытку, а каждый мальчик подарил каждой
девочке гвоздику. Чего было больше подаренных открыток или подаренных
гвоздик?
7. п.39 задача 6 решение:
• Каждая девочка подарила каждомумальчику открытку, а каждый мальчик
подарил каждой девочке гвоздику.
• Пример: В классе 13 девочек и 15
мальчиков.
- подарено открыток 13 ∙ 15
- подарено гвоздик
15 ∙ 13
• Вывод: Подаренных открыток и
подаренных гвоздик было одинаковое
количество.
8. п.39 задача 7*
Второй класс, в котором 23 ученика, номальчиков меньше, чем девочек,
отправился на экскурсию в музей. За
время экскурсии каждый мальчик по
одному разу дернул за косичку каждую
девочку. Сколько мальчиков и сколько
девочек в классе, если всего было
произведено 132 дергания за косички?
9. п.39 задача 7*решение:
• Пусть в классе m мальчиков и n девочек, тогда покомбинаторному правилу умножения число
комбинаций – m ∙ n
• В классе m мальчиков, тогда (23 – m) девочек.
Произведено m∙ (23 – m) дерганий за косички, что по
условию задачи составляет 132.
• Составим и решим уравнение: m∙ (23 – m)= 132.
• Корнями уравнения являются числа 11 и12.
• По условию задачи мальчиков меньше, чем девочек.
Следовательно мальчиков 11, а девочек 12.
• Ответ: 11 мальчиков и 12 девочек.
10. п.39 задача 8*
• На приеме в посольстве встретились дведелегации, в каждой из которых было
несколько дипломатов. Каждый дипломат
одной делегации пожал руку каждому
дипломату второй делегации. Сколько было
членов в каждой делегации, если всего
произошло 143 рукопожатия?
11. п.39 задача 8* решение:
• Пусть в одной делегации m дипломатов, вдругой делегации n дипломатов. По
комбинаторному правилу умножения
количество рукопожатий будет m ∙ n.
• Всего произошло 143 рукопожатия,
следовательно
m ∙ n = 143.
• Проанализируем данное произведение,
рассмотрев делители числа 143. Возможны
числа 11 и 13.
Ответ: в делегациях было 11 и 13 ( или 13 и 11)
дипломатов.
12. п.40 задача 1
• Саша, Ваня и Петя получили номера 1, 2, и 3для участия в соревнованиях. Запишите в
таблицу все возможные способы
распределения этих номеров между
участниками.
13. п.40 задача 1 решение:
1 способ 2 способ 3 способ 4 способ 5 способ 6 способСаша
1
1
2
2
3
3
Ваня
2
3
1
3
1
2
Петя
3
2
3
1
2
1
• Первого человека можно выбрать тремя способами,
второго – двумя, а третьего – одним-единственным
способом.
• Таким образом, получили 3 . 2 . 1 = 6 способов
перестановки трех человек или 3! = 6
14. Дополнительные задачи:
• Сколькими способами 28 учеников можно выстроить вочередь в столовую? Ответ: 28!
Решение:
1 способ: Сколько существует способов выстроить в
очередь первого ученика (28), второго ученика (27),
третьего ученика (26) и т. д. ? По правилу умножения
получаем
28 ∙ 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ … ∙ 1 = 28!
2 способ: число перестановок 28!
Важно помнить, что задачу можно решить не только
по формуле, но и воспользовавшись рассуждениями.
15. Дополнительные задачи
• Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женярешили покататься на карусели. На ней шесть
сидений. Одно изображало льва, другое тигра, третье
слона, четвертое оленя, пятое медведя и шестое
жирафа. Ребята заспорили, кому куда садиться,
поэтому решили перепробовать все способы. Сколько
раз пришлось им прокатиться на карусели? (6! = 720)
Посчитайте приблизительно сколько времени займет
катание на карусели.
• В семье шесть человек, а за столом на кухне шесть
стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная,
рассаживаться на эти шесть стульев по-новому.
Сколько дней члены семьи смогут осуществлять
задуманное? (6! = 720 дней, почти два года)
16. Дополнительные задачи
• Проказница Мартышка, Осёл, Козел да КосолапыйМишка задумали сыграть квартет. Стой, братцы,
стой! – кричит Мартышка, - погодите! Как музыке
идти! Ведь Вы не так сидите. И так, и этак
пересаживались – опять музыка не идет на лад. Тут
пуще прежнего пошли у них раздоры, кому и как
сидеть. Сколько существует способов рассадить
музыкантов ? (4! =24)
• В 8 классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия,
литература, физкультура, русский язык, биология,
английский язык.
а) Сколько можно составить различных вариантов
расписания на среду ? (7! = 5040)
б) В скольких вариантах расписания физкультура
будет значиться последним уроком? (6! = 720)
17. п.41 задача 1
Найдите вероятность того, что трехзначныйномер случайно проезжающей мимо машины
состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном
порядке.
18. п.41 задача 1решение:
• Общее число равновозможных исходовN= 10∙ 10∙ 10 = 1000;
• Событие А «трехзначный номер случайно
проезжающей мимо машины состоит из цифр 0, 4, 5 в
произвольном порядке»
• Число благоприятствующих событий, при которых
событие А появляется N(A) = 3! = 6;
• Вероятность события А
Р(А) = 6⁄1000 = 0,006
Ответ: Р(А) = 0,006
19. п. 41 задача 3
Какова вероятность того, что средипоследних четырех цифр случайного
телефонного номера :
• а) встретится цифра 7;
• б) встретится цифра 2 или цифра 3.
20. п.41 задача 3 решение:
• а) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = 10000Событие ͞А – «не встретится цифра 7»
N(͞А) = 9 ∙ 9 ∙ 9 . 9 = 6561;
Р(͞А) = 6561/ 10000 = 0,6561;
Р(А) = 1 – Р(Ā);
Р(А) = 1 – 0,6561 = 0,3439.
Ответ: Р(А) = 0,3439.
21. п. 41 задача 3 решение:
• б) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = 10000Событие ͞А – «не встретятся цифры 2 и 3»
N( ͞А) = 8 ∙ 8 ∙ 8 . 8 = 4096;
Р(͞А) = 4096/10000 = 0,4096;
Р(А) = 1 – Р(͞А);
Р(А) = 1 – 0,4096 = 0,5904;
Ответ: Р(А) = 0, 5904.
22. п.41 задача 5
На полке у Миши 6 видеокассет. На днерождения Миша снял все кассеты с полки.
Часть фильмов ребята посмотрели вместе, а
когда гости ушли, Миша поставил все кассеты
снова на полку в случайном порядке. Найдите
вероятность того, что кассеты оказались в том
же порядке, что были прежде.
23. п. 41 задача 5 решение:
• N = 6! = 720• N(A) = 1
• Р(А) = 1/720 ≈ 0,0014
Ответ: Р(А) ≈ 0,0014
24. П.41 задача 9
Слово «апельсин» написали на полоскекартона и разрезали полоску на буквы.
Девочка, играя, выложила их в ряд в
случайном порядке. Найдите вероятность того,
что это слово «спаниель».
25. п. 41 задача 9 решение:
• N= 8! = 40320• N(А) = 1
• Р(А) = 1/40320 ≈ 0,000025
Ответ: Р(А) ≈ 0,000025
26. п.42 задача 11, п. 43 задача 5
• На билете лотереи «Честная игра» имеется 20закрытых букв, ровно 10 из них – буквы слова
«АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным
образом. По правилам лотереи, если владелец билета,
открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова
«АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает автомашину.
а) Сколько существует способов открыть 10 букв?
б) Сколько существует способов открыть 10 букв так,
чтобы выиграть автомобиль?
Найдите вероятность, открыв случайным образом 10
букв, открыть все буквы слова «автомобиль»
27. Решение:
а)= 184756 ;
N=184756
б) Событие А « открыв случайным образом
все 10 букв, открыть слово «автомобиль»
N(A) = 1
Р(А) = 1 / 184756
Ответ: Р(А) = 1/184756
28. п. 43 задача 1
• Для участия в телевикторине случайнымобразом выбирают 3 игроков из 8
претендентов. Какова вероятность того, что
будут выбраны 1-ый, 4-ый и 8-ой игроки?
29. Решение:
N =56
• Событие А « будут выбраны 1-ый,
4-ый и 8-ой игроки»
N (A) = 1
• Р (А) = 1/56 = 0,018
• Ответ: Р(А) = 0,018
30. п. 43 задача 6 (в, г)
• Найдите вероятность того, что все буквы «о»окажутся на своих местах, если случайным
образом перемешать и выстроить в ряд все
буквы слова
в) «околоток»
г) «обороноспособность»
31. п. 43 задача 6(в, г) решение:
• в) «околоток»N=
N(A) = 1
P(A) = 1/70 =0,014
• г) « обороноспособность»
N=
N(A) = 1
Р(А) = 1/31824 = 0, 000031
32. п. 43 задача 10*
• В магазин привезли 10 синих и 10 коричневыхкостюмов. Продавщица случайным образом
выбирает 8 из них, чтобы выставить на
витрине. Найдите вероятность того, что будет
отобрано 3 синих и 5 коричневых костюмов.
33. Решение:
• N=• N(A) =
• Р(А) = 30240/125970 =0, 24
Ответ: Р(А) = 0,24.
34. п. 43 задача 12*
Иван Иванович купил билет лотереи«Спортлото 5 из 36» . На билете изображены
36 номеров от 1 до 36. нужно вычеркнуть ровно
5 из них. При розыгрыше случайным образом
выбираются 5 выигрышных номеров. Какова
вероятность того, что Иван Иванович,
зачеркнув 5 чисел, угадает:
а) ровно 5 выигрышных номеров;
б) ровно 4 выигрышных номера.
35. Решение:
а)N == 376992
N(А) = 1
Р(А) = 1/ 376992 = 0, 000003
б) N(A) =
= 155
N = 376 992
Р(А) = 155/376992 = 0, 0004