Теорема Бернулли. Примеры

1.

Теорема
Бернулли

2.

1.
2.
3.
4.
Производится серия n независимых
испытаний.
У каждого испытания 2 исхода: A - "успех" и
- "неуспех". A
Вероятность "успеха" в каждом испытании
одинакова и равна P(A) = p
Соответственно, вероятность "неуспеха"
также не меняется от опыта к опыту и равна .
Какова вероятность того, что в серии из n
опытов k раз наступит успех?
Найти Pn(k)
.

3.

1. Монета бросается n раз.
2. Из колоды извлекается карта n раз, причём
каждый раз карта возвращается, колода
перемешивается.
3. Исследуется n изделий некоторого
производства, наугад выбранные, на
качество.
4. Стрелок стреляет по мишени n раз.

4.

Объясните, почему следующие вопросы
укладываются в схему Бернулли.
Укажите, в чем состоит «успех» и чему равны n и k.
а) Какова вероятность трехкратного выпадения
«двойки» при десяти бросаниях игрального кубика?
б) Какова вероятность того, что при ста бросаниях
монеты «орел» появится 73 раза?
в) Двадцать раз подряд бросили пару игральных
кубиков. Какова вероятность того, что сумма очков ни
разу не была равна десяти?
г) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали
результат и возвратили их в колоду, затем карты
перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова
вероятность того, что каждый раз среди вытащенных
карт была дама пик?.

5.

Для числа сочетаний
из n по k
справедлива формула
n!
С
k!(n k )!
k
n
Например:
5!
3! 4 5
С
10
3!(5 3)!
3! 2!
3
5

6.

Вероятность Pn(k) наступления ровно k
успехов в n независимых повторениях
одного и того же испытания находится по
формуле
Рn (k ) С p ,q
k
n
k
n k
где p – вероятность «успеха»,
q = 1- p - вероятность «неудачи» в
отдельном опыте.

7.

Монета бросается 6 раз. Какова вероятность
выпадения
герба 0, 1, …6 раз?
;
;
;
Решение. Число опытов n=6.
;
Событие А – «успех» – выпадение герба.
;
;
1
p
2
1
q
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна
6
1
1
P6 (0)
2 64
1 1 1
P6 (1) C6
5
6
2 2 64

8.

;
Монета бросается 6 раз. Какова вероятность
;
выпадения
герба 0, 1, …6 раз?
;
Решение. Число опытов n=6.
;
Событие А – «успех» – выпадение герба.
;
;
2 1
P6 (2) C6
2
4
1 15
64
2 2
3 1
P6 (3) C6
3
3
1 20
2 2 64
5 1
P6 (5) C6
5
1 6
2 2 64
4 1
P6 (4) C6
4
2
1 15
64
2 2
6
1
1
P6 (6)
2 64

9.

Монета
бросается
10
раз.
Какова
вероятность
двукратного появления герба?
;
;
;
Решение.
Число опытов n=10, m=2.
Событие А – «успех» – выпадение герба.
;
;
;
1
p
2
1
q
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна
10 2
2
8
10
45
1 10 9 1
0,04395.
2 2 1 2 2 1024
2 1
С10

10.

В урне 20 белых и 10 черных шаров.
Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар
возвращают в урну перед извлечением
следующего и шары в урне перемешивают.
Найти вероятность того, что из четырех
вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар.
Тогда вероятности
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна

11.

Определить вероятность того, что в семье,
имеющей 5 детей, нет девочек. Вероятности
рождения мальчика и девочки предполагаются
одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения
1
1
девочки p ( A)
, мальчика q ( A)
2
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна

12.

Определить вероятность того, что в семье,
имеющей 5 детей, будет одна девочка.
Вероятности рождения мальчика и девочки
предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения
1
девочки p ( A) , мальчика
2
1
q ( A)
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна

13.

Определить вероятность того, что в семье,
имеющей 5 детей, будет две девочки.
Решение. Вероятность рождения
1
1
девочки p ( A) , мальчика q ( A)
2
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна

14.

Определить вероятность того, что в семье,
имеющей 5 детей, будет три девочки.
Решение. Вероятность рождения
1
1
девочки p ( A) , мальчика q ( A)
2
2
По формуле Бернулли требуемая вероятность
равна

15.

.
Определить вероятность того, что в семье,
имеющей 5 детей, будет не больше трёх
девочек. Вероятности рождения мальчика и
девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения
1
1
девочки p ( A)
, мальчика q ( A)
2
2
Требуемая вероятность равна

16.

.
Среди деталей, обрабатываемых рабочим,
бывает в среднем 4% нестандартных. Найти
вероятность того, что среди взятых на
испытание
30
деталей
две
будут
нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке
каждой из 30 деталей на качество.
Событие А - «появление нестандартной
детали»,
q ( A) 0,96
p ( A) 0,04

17.

.
При каждом отдельном выстреле из орудия
вероятность поражения цели равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 20 выстрелов число
удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение.

18.

.
Среди деталей, обрабатываемых рабочим,
бывает в среднем 4% нестандартных. Найти
вероятность того, что среди взятых на
испытание
30
деталей
две
будут
нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке
каждой из 30 деталей на качество.
Событие А - «появление нестандартной
детали»,
q ( A) 0,96
p( A) 0,04

19.

Вероятность того, что изделие не пройдет
контроля, равна 0,125. Какова вероятность
;
того, что среди 12 изделий не будет ни одного
; забракованного контролером?
;
;
Решение. Число опытов n=12, m=0
;
Событие А – «успех» - не будет ни
; одного забракованного.
1
7
p ,q
8
8
Р12 0
0 1
С12
0
12
12
7
7
1 1 0,2514.
8 8
8

20.

Домашнее задание
В следующих испытаниях найдите
вероятности «успеха» и «неудачи».
а) Бросают пару различных монет.
«Неудача» - выпадение двух «орлов».
б) Бросают игральный кубик. «Успех» выпадение числа, кратного трем.
в)
Бросают пару различных кубиков.
«Неудача» - выпадение двух четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5. «Успех» среди них нет дамы пик.