Введение в теорию аналитических функций

Литература
1)Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение
в теорию аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1977.
2)Привалов И.И. Введение в теорию функций
комплексного переменного. – М.: Наука, 1984.
3)Нечаев И.Д. Теория функций комплексного
переменного. Уч. пособие. Барнаул: Изд-во БГПУ,
2001.

3.

4)Свешников АГ., Тихонов А.И. Теория функций
комплексной переменной-М.: Физматлит, 2001.
5)Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории
аналитических функций. –М.: Наука, 1972.
6) Волковыский А.И., Лунц Г.А., Абрамович И.Г. Сборник
задач по теории функций комплексного переменного. – М.:
Наука, 1970.

4.

Введение.
Уже в древности математики замечали, что решение
некоторых квадратных уравнений приводит к извлечению
квадратного корня из отрицательного числа – операции,
невыполнимой во множестве действительных чисел. Это
однако не вызывало необходимости расширения понятия
числа, ибо во всех таких случаях оказывалось, что
соответствующая практическая задача не имеет решения.

5.

Иное положение создалось, когда в первой половине 16
века итальянские математики, открыли формулы для корней
кубических уравнений. Было обнаружено, что в том случае,
когда все корни кубического уравнения действительные,
они выражаются формулами, содержащими квадратные
корни из отрицательного числа, и обойти эти мнимости
нельзя.

6.

Это поставило на очередь изучение выражений,
содержащих квадратные корни из отрицательных чисел.
Первая попытка обоснования действий с подобными
выражениями была предпринята в 1572г. итальянским
математиком Бомбелли. В дальнейшем комплексными
числами пользовались все шире и получали важные и
правильные результаты, но все же они долго
рассматривались как плод вымысла, как не существующие
и сверхестественные.

7.

Реальный характер комплексных чисел стал выясняться с
введением их геометрической интерпретации (Вессель,
датский землемер, 1799г., Арган, 1806г., Гаусс, 1832).
Комплексные числа были применены для описания
широкого круга явлений, Они прочно вошли во многие
естественные науки: гидродинамику, аэромеханику,
электротехнику, атомную физику, теорию упругости и т.д.
Как память о прошлом недоверии сохранилось название
«мнимое число».

8.

С теорией комплексного числа Вы уже знакомились в курсе
алгебры.
Мы будем заниматься изучением свойств функций
комплексной переменной и в частности свойств
аналитических функций. Функции комплексной
переменной находят широкое применение с одной стороны
в различных разделах чистой математики (алгебра, теория
чисел, дифференциальные уравнения и др.), с другой
стороны в прикладных дисциплинах (теоретическая
физика, гидродинамика, небесная механика, теория
упругости).

9.

Чтобы отметить мощь методов теории функций
комплексной переменной, укажем лишь некоторые важные
достижения, сделанные в математике с помощью этих
методов:
1) проблемы распределения простых чисел ставятся в
зависимость от распределения нулей некоторой функции
комплексной переменной;
2) проблема Варинга об изображении целого
положительного числа в виде суммы ограниченного числа
любых степеней решена на основе функций комплексной
переменной.

10.

Можно привести многочисленные примеры разделов
математики, где работают методы ТФКП:
Так предложение о том, что всякое алгебраическое
уравнение имеет по крайней мере один комплексный корень
является основной теоремой алгебры.

11.

Из интегрального исчисления известно о значении
комплексных чисел при интегрировании рациональных
функций. Из раздела «Дифференциальные уравнения»
знаем об использовании комплексных чисел при
построении решения линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.

12.

13.

14.

15.

План изучения настоящего курса
В начале будем заниматься развитием в
комплексной области известных из
математического анализа основных понятий и
операций: предела, производной, интеграла.
Таким образом, будем строить аналитический
аппарат для исследования функций комплексной
переменной.

16.

Построив этот фундамент, перейдем к
выяснению свойств класса дифференцируемых
функций. Одна из главных задач курса
углубление знаний элементарных функций.
Поэтому в курсе большое внимание будет
уделено элементарным функциям, точкам их
ветвления, Римановым поверхностям,
конформным отображениям, осуществляемым с
помощью этих функций.