Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках

1.

Построение эпюр поперечных
сил и изгибающих моментов в
балках

2.

F=10кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Пусть требуется
построить эпюры Qy и Mx
для балки, изображенной
на рисунке

3.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Для этого должны
быть известны
опорные реакции, хотя
бы одна. Их можно
определить из
уравнений статики

4.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
Изображаем базовую
линию эпюры
поперечных сил
2м
Qy

5.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
Анализируем влияние всех
сил и распределённых
нагрузок, двигаясь по балке
слева- направо

6.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
Превое, что нам встречаетсясила F. Отложим от базовой
линии в направлении силы F
отрезок произвольной длины

7.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
Изобразим эпюру в виде
прямоугольника. На участке,
где действуют силы, эпюра Q
всегда прямоугольная

8.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
10
Проставим значение на эпюре,
равное величине силы F и знак
«минус», т.к эпюра получилась
под базовой линией

9.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
10

10.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
10
Движемся по балке
дальше вправо. Видим
силу RA. В этом месте на
эпюре будет скачок на
величину RA в том
направлении, куда
указывает стрелка

11.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Qy
10

12.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
-10+34=24
Qy
10
Прибавим к ранее
отложенному на эпюре
значению величину
реакции RAи отметим
полученное значение на
эпюре.

13.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
2м
1м
24
Qy
10
На участках, где действует
распределённая нагрузка
q, эпюра Q представляет
собой наклонную прямую
линию, причём стрелки на
грузки q показывают
направление наклона этой
линии

14.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
Для того, чтобы
определить значение Q на
конце участка, умножим
величину q на его длину.
20*2
1м
2м
24
Qy
10

15.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
24-20*2=-16
Из значения в начале
участка вычтем это
произведение. (если
стрелки нагрузки смотрят
вверх, то прибавим)

16.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
Соединяем точки и
проставляем знаки. Эпюра
Q почти готова
2м
1м
24
Qy
10
16

17.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
Иногда требуется найти
расстояние z0 до точки
пересечения эпюры с
базовой линией
2м
24
Qy
10
z0
16

18.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
Для этого применим
простую формулу
2м
24
Qy
10
z0
16
z0=Qнач/q

19.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
Эдесь Qнач- значение
поперечной силы в начале
участка
2м
24
Qy
10
z0
16
z0= Qнач/q

20.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
q- величина
распределённой нагрузки
2м
24
Qy
10
z0
16
z0= Qнач/ q

21.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
1,2м
16
z0=Qнач/q=24/20=1,2м

22.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
Построим эпюру
изгибающих моментов
2м
24
Qy
10
16
0
мХ

23.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
Растянутые волокна
М=2кН*м
Сжатые волокна
1м
2м
24
Qy
10
16
М=10*1=10
0
мХ
Движемся по балке слеванаправо. Сила F на левом
конце балки изгибает
балку так, что растянутые
волокна (выпуклая часть)
находятся вверху. Там и
будет построена эпюра.
(Строители в отличие от
механиков строят эпюры
моментов на растянутых
волокнах )

24.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
2м
1м
24
Qy
10
16
F*l=10*1=10
0
мХ
На конце балки момент
равен нулю почти всегда.
(кроме случаев, когда в
этом месте приложен
сосредоточенный момент,
как на правом конце нашей
балки).

25.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
16
F*l=10*1=10
0
мХ
Если на участке действуют
только силы, эпюра
моментов всегда имеет вид
треугольника. Если только
моменты- то эпюра
прямоугольная

26.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
2м
1м
24
Qy
10
16
F*l=10*1=10
0
мХ
В нашем случае это
треугольник с нулевым
значением на конце
балки, расположенный на
растянутых волокнах
(вверху). Значение
момента- произведение
силы на плечо

27.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
Откладываем значение
момента на конце участка
2м
1м
24
Qy
10
16
10
0
мХ

28.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
Это же значение будет и в
начале следующего
участка.*
24
Qy
действует сосредоточенный момент,
то в начале следующего участка значение
будет отличаться на величину этого момента)
10
16
10
0
*Но если на границе участков
мХ

29.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
16
10
0
мХ
На правом конце балки
момент не равен нулю,
поскольку там приложен
внешний
сосредоточенный момент

30.

F=10кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
2м
1м
24
Qy
10
16
10
0
мХ
Он пытается изогнуть
балку выпуклостью вверх,
поэтому значение этого
момента откладываем
вверх

31.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
16
10
2
0
мХ

32.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
2м
1м
24
Qy
10
16
10
2
0
мХ
Под равномерно
распределённой нагрузкой
эпюра моментов всегда
имеет вид параболы. К
тому же мы видим, что
эпюра Q пересекает
базовую линию. В этом
месте эпюра моментов
всегда имеет максимум
или минимум (экстремум)

33.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
Найдём экстремальное
значение момента
2м
1м
24
Qy
10
16
10
2
мХ
0
?

34.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
16
10
2
мХ
0
Mmax=M0+Qmax2/2q
Для этого воспользуемся
простой формулой,
предназначенной для
случая с равномернораспределённой
нагрузкой

35.

F=10кН
RB=16кН
RA=34кН
q=20кН/м
М=2кН*м
В этой формуле M0 —
момент в начале участка
2м
1м
24
Qy
10
16
10
2
0
мХ
Mmax=M0+Qнач2/2q=10+

36.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
Qнач- Поперечная сила в
1м
начале участка, взятая с
эпюры Qy
2м
24
Qy
10
16
10
2
0
мХ
Mmax=M0+Qнач2/2q= 10 +242

37.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
q- величина распределённой
нагрузки
2м
24
Qy
10
16
10
2
0
мХ
Mmax=M0+Qнач2/2q= 10 +242 /2*20

38.

F=10кН
RA=34кН
RB=16кН
q=20кН/м
М=2кН*м
1м
2м
24
Qy
10
16
10
2
мХ
0
4,4
Откладываем значение
максимального момента
(положительные значения
откладываем вниз) и
строим эпюру

39.

Желаем успехов в освоении сопромата
и строительной механики!
Разработчики:
М.В. Таничев
В.И. Караваев
Каф. Архитектуры и строительства
ИВГПУ 2020г.
https://vk.com/public173942920