Предел функции в точке и на бесконечность

1.

Презентация на тему:
«Предел функции в точке и на
бесконечность»
Выполнила:
Студентка группы 1-1 тех
Сайфутдинова Карина

2.

Жил-был в 19 веке француз Луи Коши,
который заложил основы математического
анализа и дал строгие определения
основным его понятиям— пределу,
непрерывности, производной,
дифференциалу, интегралу, сходимости
ряда и т. д.
21 августа 1789 — 23 мая 1857 год.

3.

«Историческая справка»
Надо сказать, этот самый Коши снился,
снится и будет сниться в кошмарных снах
всем студентам физико-математических
факультетов, так как доказал огромное
количество теорем, причем одна теорема
страшнее другой. Поэтому, мы не
рассматриваем сегодня строгое определение
предела, а попытаемся сделать две вещи:

4.

«Цель урока»
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы
пределов.

5.

«Рассмотрим конкретный пример»
2 x 3x 5
lim
x 1
x 1
2
Что значит выражение «х стремится к единице»?
Выражение «х стремится к единице» следует
понимать так – «х» последовательно принимает
значения, которые бесконечно близко
приближаются к единице и практически с ней
совпадают.

6.

«Решение»
Исходя из вышесказанного, нужно просто
подставить единицу в функцию, стоящую
под знаком предела:
2 x 3 x 5 2 1 3 1 5 6
lim
3
x 1
x 1
1 1
2
2
2

7.

«Первое правило»
Когда дан любой предел, сначала
просто пытаемся подставить число, к
которому стремится «икс» в функцию.

8.

«Например»
lim x 2 x
x 3
2
3x 1
lim 2
x 2 x 3
5
x 4x 5
lim
x 0 7 x 3 x 1
lim 2 x x
x 3
lim x
x 4
x
3x 2 x 1
lim
x 1
x 3
x5 4 x 3
lim
x 1 7 x 3 x 1
lim 2 x x 7 9
2
x 0

9.

«Пример с бесконечностью»
lim 16 x
x
Согласно нашему первому правилу, мы
вместо «икса» подставляем в
функцию бесконечность и получаем ответ

10.

«Пример с бесконечностью»
lim 1 x
x
Согласно нашему первому правилу, мы
вместо «икса» подставляем в
функцию бесконечность и получаем ответ

11.

«Понять и запомнить»
1
lim 0
x x
x
5
lim
x 3
1
lim
x 0 x
x
3
lim 0
x 5

12.

«Понять»
lim( x 2 x 7)
2
x
lim( 3x 2 x 7)
2
x

13.

«Понять»
1
lim 2 0
x x
4 x
lim
0
x 4 x 3
x 9
lim
0
x 3 2 x 3
2
2x 7
lim
x 9 9 x
2
1
lim
0
x
x 5
7
lim
x 2 2 x

14.

«Пределы с неопределенностью»
6 x 5x 7
lim 2
x 2 x 3 x 9
2
Для того, чтобы раскрыть
неопределенность необходимо разделить
числитель и знаменатель на «икс» в старшей
степени.

15.

«Пределы с неопределенностью»
6 x 5x 7
lim 2
x 2 x 3 x 9
2
5 7
6 2
x x
lim
x
3 9
2 2
x x
3

16.

«Пределы с неопределенностью»
4x 6x 5
lim
2
x 2 x 3 x 9
3
2
6 5
4 3
x x
lim
x 2
3 9
2 3
x x
x

17.

«Пределы с неопределенностью»
4x 6x 5
lim 2
5
x 2 x 3 x 9
3
2
4 6 5
3 5
2
x
x
x
lim
x 2
9
3 5
3
x
x
0

18.

«Пределы с неопределенностью»
x x 6 0
lim 2
x 2 x 3x 2
0
2
Если в числителе и знаменателе находятся
многочлены, и имеется неопределенность,
то для ее раскрытия нужно разложить
числитель и знаменатель на множители и
сократить дробь
0
0

19.

«Пределы с неопределенностью»
x x 6 0
lim 2
x 2 x 3x 2
0
2
( x 2)( x 3)
x 3
lim
lim
5
x 2 x 2 x 1
x 2 x 1
0
0

20.

«Пределы с неопределенностью»
0
0
2 x 3x 5 0
lim
x 1
x 1
0
2
5
2( x 1)( x )
2 lim 2 x 5 7
lim
x 1
x 1
x 1

21.

«Метод умножения числителя и знаменателя
на сопряженное выражение»
x 3
0
lim
lim
x 3
x 1 2 0 x 3
x 3 x 1 2
x 1 2 x 1 2
x 3 x 1 2
lim
lim x 1 2 4
x 3
x 3
x 3

22.

«Вычислить»
x 16
lim
x 5 x 4
3 x
lim 2
x 3 x 9
x 3x 10
lim 2
x 3 x 2 x 15
x 2 16
lim
x 4 x 4
3 x
lim 2
x 3 x 9
x 2 3x 10
lim
x 5 x 2 2 x 15
2
2
x 2 3x 10
lim 2
x 2 x 2 x 15
x 2 3x 10
lim 2
x 1 x 2 x 15

23.

«Вычислить»
8х 2 5х 6
lim 2
х
2 х 7 х 10
х 2 9х3
lim 2
х
2 х 3х 3 10
7 6х3
lim 2
х
2 х 3х 3
х 2 9х
lim 2
х
2х 5х 3 7
х 9х
lim 2
х
х 2х 7
3х 5 5
lim
х
2 х х5
2
3

24.

Спасибо за внимание!