Правило умножения

1.

Правило
умножения

2.

Задача 1
М – множество малышей
2
А – множество малышей забывших ведёрко
В – множество малышей забывших совочек
8

3.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
Задача 2
На переговоры приезжают две делегации из двух стран. В
первой делегации 3 дипломата, а во второй 4 дипломата.
Каждый дипломат пожимает руки всем дипломатам из другой
делегации. Сколько случилось рукопожатий?
Из 3 вершин
выходит по 4
стрелки:
3 4= 12

4.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
Пусть даны множества А = {а, b, с} и В = {r, q, s, t},
Составим пары из элементов этих множеств:
(а; r), (а; q), (а; s), (а; t),
(b; r), (b; q), (b; s), (b; t),
(c; r), (c; q), (c; s), (c; t).
Получили 12 упорядоченных пар: 3 4 = 12.
Если множество А состоит из n элементов, множество В – из k
элементов, то множество упорядоченных пар (а; b), где а А, b В
состоит из nk элементов

5.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
Задача 3
Встречаются 6 человек и каждый пожимает руки всем
остальным. Сколько всего будет рукопожатий?
Решение
Пусть А = {a, b, c, d, e, f } – множество из 6 элементов.
Всего упорядоченных пар, составленных из двух таких множеств:
6 6 = 36.
Пара вида (х, х) означает, что человек жал руку сам себе, таких пар 6.
Значит, всего пар с неповторяющимися элементами:
36 – 6 = 30.
В эти 30 пар, входят пары вида (х, у) и (у, х).
Таким образом, 30 : 2 = 15 рукопожатий.
Ответ: 15 рукопожатий.

6.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
Каждый из n человек пожал руку каждому из оставшихся (n – 1).
Всего упорядоченных пар по правилу умножения: n(n – 1).
Всего упорядоченных пар с неповторяющимся в два раза меньше
:
=

7.

Типовые задачи
1. Сколько диагоналей у 10-угольника?
Диагональ – это рукопожатие двух вершин
Решение: (10-3) 10 : 2 = 35 диагоналей.
2. Сколько существует треугольников с вершинами в вершинах правильного
пятиугольника?
Из элементов множества {A, D, C, D, E} составим упорядоченные тройки (А, В, С)
Решение:
Всего упорядоченных наборов из трёх вершин без повторений:
5 4 3=60.
В число этих наборов входят тройки: (А,В,С), (А,С,В), (В,А,С), (В,С,А), (С,А,В),
(С,В,А), каждая из которых обозначает один и тот же треугольник. То есть,
для каждых трёх вершин получаем 6 упорядоченных троек – это один и тот
же треугольник.
Значит, 60 : 6 = 10 треугольников.

8.

Типовые задачи
3. Сколько существует способов составить очередь из 6 человек?
Решение:
Первым в очереди – один из шести (его можно выбрать 6 способами).
Вторым – один из пяти (его можно выбрать 5 способами), т.д.
Последним – оставшийся (единственный способ его выбора).
Значит, количество упорядоченных наборов:
6 5 4 3 2 1 = 720 способов.

9.

Перестановки из n элементов
В комбинаторике упорядоченные наборы, составленных из
n-элементного множества А, называются перестановками из
n-элементов
Число таких перестановок из n элементов Рn считают с помощью
правила умножения:
Рn = n! = 1 2 3 … n, где n N (n! – читаем «эн факториал»)
ЗАПОМНИ!
0! = 1
Примеры:
2! = 1 ∙2 = 2
3! = 1 ∙2 ∙3 = 6
4! = 1 ∙2 ∙3 ∙4 =24
1! =1
Вычисли:
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720

10.

Перестановки из n элементов
Из букв a, b, c, d составляют различные комбинации.
Какие из них не являются перестановками?
1) a, b, d
4) a, c, b, d
7) d, d, c, c
2) b, c, a
5) c, d, b, a
8) b, a, c, b
3) c, a, d
6) b, c, a, d
9) d, d, a, a

11.

Задачи на перестановки
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на
книжной полке?
123; 132; 213; 231; 312; 321
Ответ: 6

12.

Задачи на перестановки
В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца.
Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
Ответ: 15

13.

Задачи на перестановки
Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно
составить из цифр 0; 1 и 2?
Цифра десятков
Цифра единиц
Варианты числа: 10, 12, 20, 21
Ответ: 4

14.

Задачи на перестановки
Государственные флаги некоторых стран состоят из трёх
горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует
различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосой?
Ответ: 6

15.

Задачи на перестановки
Сколько трёхсловных предложений можно составить из трёх
слов: сегодня, солнце, светит?
Число перестановок из трёхэлементного множества:
Р3 = 1 2 3 = 6

16.

Правило умножения
Сколько существует возможных различных результатов в случайном опыте, в
котором:
1) бросают три монеты?
2) игральный кубик бросают 3 раза? 4 раза?
Решение:
1) ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР
Ответ: 6 различных исходов опыта.
2) Если кубик бросают 2 раза, то всего различных исходов – количество
упорядоченных пар) – 36. Если к каждой паре этих исходов добавить результат
третьего броска:
(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,1,5), (1,1,6),
(1,2,1), (1,2,2), (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),
(1,3,1), (1,3,2), (1,3,3), (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),
…
(1,6,1), (1,6,2), (1,6,3), (1,6,4), (1,6,5), (1,6,6)
…
Всего исходов: 6 6 6 = 216 (при трёх бросках), 6 6 6 6 = 1296 (при четырех бросках)