Відстань між мимобіжними прямими
Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими
Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
Спосіб 2. Побудова паралельних площин
Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
270.50K
Category: mathematicsmathematics

Відстань між мимобіжними прямими

1. Відстань між мимобіжними прямими

Способи розв’язування задач
Творчий проект Башуцької Оксани

2.

Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних
прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих,
перпендикулярний до кожної з них.
A
a
AB a, AB b
B
b

3.

Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр.
Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин,
які проходять через ці прямі.
ǁ , AB , AB
A
a
b
B

4.

Означення: відстанню між мимобіжними прямими
називається довжина їх спільного перпендикуляра.
Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які
проходять через ці прямі.
ǁ , AB , AB , (a,b)= ( , )=AB
A
a
b
B

5. Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими

1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних
прямих і обчислюють його довжину;
2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні
площини і обчислюють відстань між ними;
3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину,
паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї
площини від паралельної до неї прямої;
4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних
прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі.
Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих
прямих.

6. Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра

В ході розв’язання відшукують або будують спільний
перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють
його довжину
Задача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
(BC, DD1)=DC=a
C
D
CD BC, CD DD1 як суміжні сторони
квадратів – граней куба
CD – спільний перпендикуляр
для прямих BC та DD1

7. Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра

Задача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA1 і CB1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
C
D
AA1 A1B1 , BC BB1 , BB1 A1B1
як суміжні сторони квадратів –
граней куба
За теоремою про три перпендикуляри
CB1 A1B1
A1B1 – спільний перпендикуляр
для прямих B1C та AA1
(B1C, AA1)= A1B1 = a

8.

Спосіб 2. Побудова паралельних площин
В ході розв’язання проводять через дані мимобіжні прямі
паралельні площини і ; тоді шукана відстань дорівнює
відстані між цими площинами.
a , b , ǁ , AB , AB , (a,b)= ( , )=AB
A
a
b
B

9. Спосіб 2. Побудова паралельних площин

Задача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями
несуміжних граней - прямими A1 В і DC1
B
C
1
A
1
D
1
1
P
B
A
PK- спільний перпендикуляр
заданих мимобіжних прямих
K
C
D
Діагоналі A1B та C1D лежать у
паралельних площинах , а саме:
A1B (AA1B), C1D (DD1C),
(AA1B) ǁ (DD1C)
AD – спільний перпендикуляр
для даних граней
(A1B, DC1)=AD=PK=a

10.

Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
В ході розв’язання проводять через одну з даних мимобіжних
прямих b площину , паралельну другій прямій a; тоді шукана
відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх
площиною
b , aǁ , AB , AB a, (a,b)= (a, )=AB
A
a
b
B
a1

11. Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини

Задача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи
та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A1С1 і DD1
B
1
A
C
K
1
D
1
1
B
A
C
D
Проведемо через діагональ A1C1
верхньої грані куба площину,
паралельну до бічного ребра DD1площину AA1C.
AA1 (AA1C), AA1ǁ DD1, тому
DD1 ǁ (AA1C)
Так як діагоналі квадрата взаємно
перпендикулярні (A1C1 B1D1)
а також взаємно перпендикулярні
основи та побудована діагональна
площина, то КD1 – шуканий
перпендикуляр і шукана відстань,
де К – точка перетину діагоналей
основи
2
0
a
sin
45
a
(A1С1, DD1)=KD1=
2

12.

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Проводять площину , перпендикулярну до однієї з даних
прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю
площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї
прямої з площиною , проекцією прямої b – деяка пряма b1
площини , а шукана відстань дорівнює відстані від точки А
до прямої b1
a , b b1,
b1 , a =A,
b
b , m ,
ǁa, mǁa
AB b1,
(a,b)= (A,b1)=AB
a
m
b1 B
A

13. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними
діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС1
Використаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ куба
Проведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС,
- площину BB1D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC1
будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO1
B
1
C
О1
1
A
D
1
1
К
B
A
О
Опустимо перпендикуляр ОК з
точки О на пряму О1D
ОК – шукана відстань
Так як OK O1D=OO1 OD, маємо:
a 2
OO1 a, BD a 2 , OD
2
2
C
D
a 2
2
a 1,5
O1 D a
2
OK
OO 1 OD
a 2
a
a
: a 1,5
O1 D
2
3

14. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
D1
B
Оскільки D1A і C1В – перпендикуляри до
прямої перетину двох перпендикулярних
площин, то D1A (АВС), С1В (АВС).
Побудуємо ортогональні проекції прямих
AD1 і С1D на площину АВС. Проекціями є
відповідно точка А та пряма BD. Шукана
відстань дорівнює висоті АН прямокутного
трикутника ABD ( A=900)
C
H
А
D

15. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
Оскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, то
AH
D1
AB AD
15 20
, AH
12(см)
BD
25
Відповідь: 12 см
B
C
H
А
D
English     Русский Rules