Теория поля. Основы теории поля

1.

Теория поля

2.

Основы теории поля
Полем называется область V пространства, в каждой точке
которой определено значение некоторой величины.
Если каждой точке М этой области соответствует
определенное число U=U(M), говорят, что в области определено
скалярное поле.
Скалярное поле – это скалярная функция U(M) вместе с ее
областью определения.
Если каждой точке М этой области соответствует некоторый
r r
вектор a a M , говорят, что в области задано векторное
поле.
2/

3.

r
a
Если функция U(M) ( M ) не зависит от времени, то скалярное
(векторное) поле называется стационарным.
Поле, которое меняется с течением времени называется
нестационарным.
В данном курсе рассматриваем только стационарные поля!
Если V – область трехмерного пространства, то скалярное поле
рассматривается как функция трех переменных :
U U x; y; z
Если функция U(M) зависит от двух переменных, то скалярное
поле называется плоским.
3/

4.

r r
Аналогично вектор a a M , определяющий векторное поле,
можно рассматривать как функцию трех скалярных аргументов
r r
a a x; y; z
r r
Представление вектор a a M путем разложения по ортам
координатных осей:
r
r
r
r
a P x; y; z i Q x; y; z j R x; y; z k ,
r
где P(x;y;z), Q(x;y;z),R(x;y;z) – проекции вектора a на оси
координат
Если одна из проекций равна нулю, то векторное поле
называется плоским.
r
r
r
a P x; y i Q x; y j
4/

5.

Скалярное поле
Поверхности и линии уровня
Поверхности и линии уровня используются для наглядного
представление скалярного поля
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое
место точек, в которых функция U(M) принимает постоянное
значение, т.е.:
U x; y; z const
Через каждую точку поля проходит только одна поверхность
уровня
5/

6.

Пример
Для скалярного поля, образованного функцией:
U x; y; z 1 x 2 y 2 z 2
определим поверхности уровня:
1 x 2 y 2 z 2 const
При const=0.5
x 2 y 2 z 2 0.75
При const=1
x2 y 2 z 2 0
6/

7.

В случае плоского поля U=U(x;y) равенство U(x;y)= const представляет
собой уравнение линии уровня поля.
Линия уровня – это линия на плоскости Oxy, в точках которой функция
U(x;y) сохраняет постоянное значение.
С помощью линий уровня изображают, например, рельеф местности
на географических картах, соединяя одной кривой точки, имеющие
одинаковую высоту над уровнем моря.
Для некоторых поверхностей и линий уровня используются специальные
названия.
•Поверхности постоянной температуры называются изотермическими или
изотермами.
•Поверхности постоянного давления называются изобарическими или
изобарами.
•Поверхности постоянного потенциала называются эквипотенциальными.
•Поверхности постоянной энергии называются изоэнергетическими.
7/