Приближенное вычисление определенных интегралов

1.

ПРИБЛИЖЕННОЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Марданова Гульсина Насиховна, учитель
информатики СОШ №9 г. Нижнекамска

2.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Какая
фигура называется
криволинейной трапецией?
Как вводится равномерное
разбиение отрезка?
Объясните, что такое интеграл.

3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
b
a
n 1
f ( x)dx lim f ( xi )h,
n
i 0
где _ h (b a ) / n.

4.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА
ЗАМЕНЕ ИНТЕГРАЛА КОНЕЧНОЙ СУММОЙ
Формула
левых прямоугольников
Формула правых
прямоугольников
Формула центральных
прямоугольников
Формула трапеций

5.

ФОРМУЛА ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n 1
f ( x)dx f ( xi )h, _ где _ h (b a ) / n
i 0

6.

ФОРМУЛА ПРАВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n
f ( x ) dx f ( xi ) h
i 1

7.

ФОРМУЛА СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n 1
f ( x)dx f ( x
i 0
1
i
2
)h, _ где _ x
i
1
2
xi xi 1
2

8.

ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ
b
a
n 1
f ( x)dx
i 0
f ( xi ) f ( xi 1 )
h
2

9.

ЗАДАЧА
Вычислить приближенно определенный
интеграл при n=10, n=20, n=30 в электронных
таблицах MS Excel.
3
0
4 x dx
2

10.

РЕШЕНИЕ
a=0,
b=3
n=10, 20, 30
h=(b-a)/n
f ( x) 4 x
2

11.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задать
начальные значения a, b, n, h.
Задать номера узлов i.
Задать значения х с вычисленным
шагом h.
Вычислить значения y по формуле.
Построить график функции.
Найти площади прямоугольников Si.
Найти сумму площадей
прямоугольников.
Записать результаты.

12.

13.

14.

N
Формула левых
прямоугольников
Формула правых
прямоугольников
10
7,563261697
8,04492708
20
7,678997138
7,919829829
30
7,718269167
7,878824295
Разность
s (20) – s(10)
0,115735441
0,125097251
Разность
s(30)-s(20)
0,039272029
-0,041005534

15.

ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Задаем начальное значение n.
Для него рассчитываем значение суммы S1.
Увеличиваем n в два раза.
Для данного n вычисляем сумму S2.
Процесс увеличения n, а значит и вычислений
останавливаем , если достигнута точность
вычислений:
s1 s 2

16.

ЗАДАЧА
Составить
программу для
приближенного вычисления
определенного интеграла с точностью
0.001
3
0
4 x dx
2

17.

РЕШЕНИЕ
a=0,
b=3
eps=0.001
n=10
h=(b-a)/n
f ( x) 4 x
2

18.

ФОРМУЛА ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n 1
f ( x)dx f ( xi )h, _ где _ h (b a) / n
i 0
ФОРМУЛА ПРАВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n
f ( x) dx f ( xi )h
i 1

19.

ПРОГРАММА МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Program SumL;
var a,b,h,s,s1,x,eps: real;
i,n: integer;
function f(z: real): real;
begin
f:= sqrt(4+z*z);
end;

20.

begin
a:=0; b:=3; eps:=0.001;
n:=5; s1:=15;
repeat
s:=s1; s1:=0;
n:=n*2; h:=(b-a)/n;

21.

for i:=0 to n-1 do
begin
x:=a+i*h;
s1:=s1+f(x)*h;
end;
until abs(s-s1)<eps;
writeln(‘s=‘,s);
End.

22.

ФОРМУЛА СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
b
a
n 1
f ( x)dx f ( x
i 0
1
i
2
)h, _ где _ x
1
i
2
xi xi 1
2
ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ
b
a
n 1
f ( x)dx
i 0
f ( xi ) f ( xi 1 )
h
2

23.

ПРОГРАММА МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Program SumS;
var a,b,h,s,s1,x,eps: real;
i,n: integer;
function f(z: real): real;
begin
f:= sqrt(4+z*z);
end;

24.

begin
a:=0; b:=3; eps:=0.001;
n:=5; s1:=15;
repeat
s:=s1; s1:=0;
n:=n*2; h:=(b-a)/n;

25.

for i:=0 to n-1 do
begin
x:=a+i*h+h/2;
s1:=s1+f(x)*h;
end;
until abs(s-s1)<eps;
writeln(‘s=‘,s);
End.

26.

ПРОГРАММА МЕТОД ТРАПЕЦИЙ
Program SumT;
var a,b,h,s,s1,x,x1,eps: real;
i,n: integer;
function f(z: real): real;
begin
f:= sqrt(4+z*z);
end;

27.

begin
a:=0; b:=3; eps:=0.001;
n:=5; s1:=15;
repeat
s:=s1; s1:=0;
n:=n*2; h:=(b-a)/n;

28.

for i:=0 to n-1 do
begin
x:=a+i*h;
x1:=a+(i+1)*h;
s1:=s1+(f(x)+f(x1))/2*h;
end;
until abs(s-s1)<eps;
writeln(‘s=‘,s);
End.

29.

ВЫЧИСЛИТЬ ПРИБЛИЖЕННО ИНТЕГРАЛЫ
6
1)
0
dx
1 x
4
10
2) ( x 5) (10 x ) dx
2
0
3)
2
cos x
dx
x