Теорема Виета. Решение задач

1. Решение задач по теме «Теорема Виета»

Презентацию выполнила
учитель математики
Лукина И.В.

2. Задача урока:

Изучить новые нестандартные
способы решения полных
квадратных уравнений.

3. Постановка проблемы

Рассмотрим уравнение 3х2 – 8х + 5 = 0.
Корни: Х1 = 1; Х2 = 5/3.
Рассмотрим уравнение х2 – 8х + 5·3 = 0.
Корни: Х3 = 3; Х4 = 5.
Х1 = Х3/3; Х2 = Х4/3.
Всегда ли корни неприведенного квадратного
уравнения ах2 + bх + c = 0 и корни приведенного
квадратного уравнения х2 + bх + c·а = 0 связаны
равенством Х1 = Х3/а; Х2 = Х4/а?

4. 1 подсказка.

Проверьте еще раз зависимость
между корнями уравнений
7Х2 – 6Х - 1 = 0 и
Х2 – 6Х - 1·7 = 0

5. 2 подсказка.

Попробуйте записать оба
уравнения: неприведенное и
полученное из него приведенное
квадратные уравнения в общем
виде и применить к каждому из них
формулу для решения полных
квадратных уравнений.

6. 3 подсказка.

Сравните правые части формул, по
которым находились корни
уравнений.

7. Алгоритм решения

1.составить приведенное квадратное уравнение
из данного неприведенного, умножив свободный
член на старший коэффициент.
2.решить полученное уравнение по теореме,
обратной теореме Виета.
3.получить корни данного уравнения, разделив
корни полученного приведенного квадратного
уравнения на старший коэффициент.

8. Помощь в составлении уравнения

Используя теорему, Виета составить
приведенное квадратное уравнение.
Разложить на множители свободный
член.
Получить неприведенное уравнение,
взяв один из полученных множителей в
качестве старшего коэффициента а.

9. Постановка проблемы

Дано квадратное уравнение с
большими коэффициентами:
1978Х2 – 1984Х + 6 = 0.
Имеет ли это уравнение корни, и
если – да, то как их найти
рациональным способом?

10. 1 подсказка.

Найдите сумму коэффициентов
уравнения.
Сумма коэффициентов равна нулю
(1978 – 1984 + 6 = 0).

11. 2 подсказка.

Исходя из того, что сумма
коэффициентов равна нулю,
подбором найдите один корень
уравнения.
Х1 = 1.

12. 3 подсказка.

Получите изданного уравнения
приведенное, разделив обе части
его на старший коэффициент 1978.
1978Х2 – 1984Х + 6 = 0
Х2 – 1984/1978Х + 6/1978 = 0.

13. 4 подсказка.

По теореме, обратной теореме Виета,
найдите второй корень уравнения.
Х1·Х2 = 6/1978
Х1 = 1, следовательно 1·Х2 = 6/1978,
значит Х2 = 6/1978 или Х2 = 3/989.
Ответ: 1; 3/989.

14. Домашнее задание

Придумать 5 уравнений с большими
коэффициентами и решить их;
№ 434 – решить уравнения по
изученному на уроке алгоритму,
используя теорему, обратную теореме
Виета;
Для уравнения 3х2 – 8х + 5 = 0 найти
х12 + х22, не решая уравнение.